Seja r a reta tangente à elipse x^29+y^24=1 no ponto P=(32, raiz3).
Seja Q=(0, yQ) o ponto de interseção da reta r com o eixo y. Determine o valor de yQ :
(a) raiz32;
(b) 32;
(c) 2 ;
(d) 4 raiz33;
(e) 3 raiz32.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à elipse
x^29+y^24=1
no ponto P=l(tfrac32,raiz3r) e, em seguida, o ponto Q=(0,yQ) onde essa reta cruza o eixo y. Vamos usar diferenciação implícita para achar a inclinação da tangente e depois a forma-ponto da reta.

Passo 2

Diferenciando implicitamente
x^29+y^24=1
temos
2x9+2y4,dydx=0
portanto
dydx=-tfrac2x9tfrac2y4 =-4x9y
Em P=l(tfrac32,raiz3r) isso vale
m=dydx|P =-4,(3/2)9,raiz3 =-69raiz3 =-23raiz3 =-2raiz39

Passo 3

A equação da reta tangente em forma ponto-inclinação é
y-raiz3 =ml(x-tfrac32r)
Para encontrar Q, fazemos x=0:
yQ-raiz3 =-2raiz39l(0-tfrac32r) =2raiz39cdottfrac32 =3raiz39 =raiz33
Logo
yQ =raiz3+raiz33 =3raiz3+raiz33 =4raiz33

Resposta

(d) 4raiz33

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