(a) Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.
(b) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
x=t^2-3, y=t+2, -3 <= t <= 3

Passo 1

O enunciado dá as curvas paramétricas
x = t^2 - 3, y = t + 2, -3 <= t <= 3
e pede:
– (a) esboçar a curva marcando alguns pontos e indicar com seta a direção conforme t cresce;
– (b) eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana.

Passo 2

Para esboçar, vamos calcular pontos-chave:
– em t=-3:
x = (-3)^2-3 = 9-3 = 6, y = -3+2 = -1,
ponto (6,-1).
– em t=0:
x = 0^2-3 = -3, y = 0+2 = 2,
ponto (-3,2) (vértice).
– em t=3:
x = 3^2-3 = 6, y = 3+2 = 5,
ponto (6,5).
Entre esses valores a curva forma uma parábola que abre para a direita, simétrica em torno da reta y=2. A direção de traçado vai de (6,-1) (início em t=-3) passando por (-3,2) até (6,5) (fim em t=3), conforme t aumenta, e indicamos isso com uma seta apontando nesse sentido.

Passo 3

Para eliminar o parâmetro note que
y = t + 2Longrightarrow t = y - 2
Substituindo em x = t^2-3 vem
x = (y-2)^2 - 3

Resposta

(a) A curva é a parábola de vértice em (-3,2), abertura para a direita, passando por (6,-1), (1,0), (-3,2), (1,4), (6,5). A seta vai de (6,-1) em direção a (6,5) conforme t cresce.
(b)
x = (y - 2)^2 - 3

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