Find the area of the region that lies inside the first curve and outside the second curve.
23. r=2 cos theta, r=1

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está dentro da curva r=2costheta e fora da curva r=1. O conteúdo usado será coordenadas polares e a fórmula da área em polares, que diz que, para curvas r=r1(theta) e r=r2(theta) com r1(theta)>= r2(theta), a área é
12integraltheta=a^theta=bl(r1(theta)^2 - r2(theta)^2r),dtheta

Passo 2

Precisamos achar os pontos de interseção de r=2costheta e r=1. Igualando:
2costheta = 1 Longrightarrow costheta = tfrac12 Longrightarrow theta = pm tfracpi3
Além disso, como r=2costheta>=0 só para costheta>=0, o domínio relevante é thetain[-tfracpi2,tfracpi2]. A região procurada existe apenas quando 2costheta>=1, ou seja, |theta|<=tfracpi3.

Passo 3

Em cada thetain[-tfracpi3,tfracpi3], o raio exterior é r1=2costheta e o interior é r2=1. Logo a área procurada é
A = 12integral-pi3^pi3 l((2costheta)^2 - 1^2r),dtheta = 12integral-pi3^pi3l(4cos^2theta -1r),dtheta

Passo 4

Calculamos separando:
integral-pi3^pi34cos^2theta,dtheta =4integral-pi3^pi31+cos2theta2,dtheta =2l[theta + tfracsin2theta2r]-pi3^pi3 =2l(tfrac2pi3 + tfracsin2pi3-sin(-2pi3)2r) =2l(tfrac2pi3 + tfracraiz32r) =tfrac4pi3 + raiz3
E
integral-pi3^pi31,dtheta =tfrac2pi3
Substituindo em A:
A = 12l(l(tfrac4pi3+raiz3r) - tfrac2pi3r) = 12l(tfrac2pi3 + raiz3r) = pi3 + raiz32

Resposta

pi3 + raiz32

Exercícios relacionados