Find the area of the region enclosed by one loop of the curve.
20. r=2 sin 6 theta

Passo 1

O enunciado pede a área de uma pétala (um laço) da curva em coordenadas polares dada por
r = 2 sin(6theta)
O conteúdo usado aqui é a fórmula da área em coordenadas polares:
A = 12 integraltheta1^theta2 r^2,dtheta

Passo 2

Para encontrar os limites theta1 e theta2 de um laço, achamos onde r=0, ou seja
2sin(6theta)=0Longrightarrow 6theta = kpi Longrightarrow theta = kpi6,;kinZ
Um laço começa e termina em dois zeros consecutivos, por exemplo de theta=0 até theta=pi/6.

Passo 3

Montamos a integral de área para esse intervalo e simplificamos usando sin^2 x = tfrac1-cos(2x)2:
A = 12 integral0^pi/6 l(2sin(6theta)r)^2 dtheta = 2 integral0^pi/6 sin^2(6theta),dtheta = 2 integral0^pi/6 1-cos(12theta)2,dtheta = integral0^pi/6 l(1-cos(12theta)r),dtheta

Passo 4

Integrando termo a termo:
integral !1,dtheta = theta, integral !cos(12theta),dtheta = 112sin(12theta)
Logo a primitiva é
F(theta) = theta - 112sin(12theta)

Passo 5

Avaliando de 0 a pi/6:
A = l[theta - tfrac112sin(12theta)r]0^pi/6 = l(tfracpi6 - tfrac112sin(2pi)r) - (0 - 0) = pi6

Resposta

A área de um laço da curva r=2sin(6theta) é pi6

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