(a) Esboce a curva utilizando as equações paramétricas para traçar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada conforme t aumenta.
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.
x=e^t, y=raizt, 0 <= t <= 1

Passo 1

Aqui queremos traçar a curva paramétrica definida por x = e^t e y = √t para t variando de 0 a 1 e depois eliminar o parâmetro para achar a forma cartesiana. Vamos usar conceitos de esboço de curvas paramétricas e de manipulação de funções inversas.

Passo 2

Para esboçar a curva, escolhemos alguns valores de t no intervalo [0,1] e calculamos (x,y):
• t=0 ⇒ x=e⁰=1, y=√0=0
• t=0,25 ⇒ x=e^{0,25}≈1,28, y=√0,25=0,5
• t=0,5 ⇒ x=e^{0,5}≈1,65, y=√0,5≈0,71
• t=0,75 ⇒ x=e^{0,75}≈2,12, y=√0,75≈0,87
• t=1 ⇒ x=e¹=e, y=√1=1

Passo 3

Plotamos esses pontos num sistema de eixos xy e ligamos suavemente formando uma curva que começa em (1,0) e sobe até (e,1). Como t cresce, a curva se desloca no sentido de aumentar x e y. Basta desenhar uma seta ao longo da curva apontando de (1,0) em direção a (e,1).

Passo 4

Para eliminar o parâmetro, note que de x = e^t podemos aplicar logaritmo natural e obter t = ln x. Substituindo em y = √t, vem
y = raizln x
O domínio vem de t ∈ [0,1], logo x = e^t varia de e⁰=1 até e¹=e, ou seja x ∈ [1,e].

Resposta

a) A curva começa em (1,0) e vai para (e,1) conforme t aumenta, com seta indicando o movimento de baixo à esquerda para cima à direita. b) A equação cartesiana é y = √(ln x), com 1 ≤ x ≤ e.

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