Nos Exers. 16 a 25 ache as soluçöes dos problemas com valor iniciul cados.
4 y^prime prime-4 y^prime+5 y=0 ; y(0)=12, y^prime(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4 y’’ – 4 y’ + 5 y = 0
e satisfazer as condições iniciais y(0)=½ e y’(0)=1. Vamos usar a teoria de equação característica para EDOs desse tipo.

Passo 2

Primeiro formamos a equação característica associada à EDO substituindo y por e^{rt}. Isso dá
4r^2 - 4r + 5 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara para achar as raízes r.

Passo 3

Aplicando Bhaskara em
r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4cdot4cdot52cdot4 = 4 pm raiz16 - 808 = 4 pm raiz-648 = 4 pm 8i8 = 12 pm i
mancha que as raízes são complexas conjugadas r = ½ ± i.

Passo 4

Quando as raízes são da forma α ± β i, a solução geral é
y(t) = e^alpha tl(C1cos(beta t) + C2sin(beta t)r)
Aqui α=½ e β=1, então
y(t) = e^t/2l(C1cos t + C2sin tr)

Passo 5

Para achar y’(t), aplicamos a regra do produto:
y'(t)=12 e^t/2(C1cos t+C2sin t)+e^t/2(-C1sin t+C2cos t)
Agrupando termos:
y'(t)=e^t/2l((tfrac12C1+C2)cos t+(tfrac12C2-C1)sin tr)

Passo 6

Agora impomos as condições iniciais. Em t=0:
y(0)=C1=tfrac12,
y'(0)=tfrac12C1+C2=1Longrightarrowtfrac12cdottfrac12+C2=1implies C2=tfrac34

Passo 7

Substituindo C_1=½ e C_2=¾ em y(t), obtemos a solução particular:
y(t)=e^t/2l(tfrac12cos t+tfrac34sin tr)

Resposta

y(t)=e^t/2l(tfrac12cos t+tfrac34sin tr)

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