Nos Exers. 16 a 25 ache as soluçöes dos problemas com valor iniciul cados.
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Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4 y’’ – 4 y’ + 5 y = 0
e satisfazer as condições iniciais y(0)=½ e y’(0)=1. Vamos usar a teoria de equação característica para EDOs desse tipo.
4 y’’ – 4 y’ + 5 y = 0
e satisfazer as condições iniciais y(0)=½ e y’(0)=1. Vamos usar a teoria de equação característica para EDOs desse tipo.
Passo 2
Primeiro formamos a equação característica associada à EDO substituindo y por e^{rt}. Isso dá
Usamos a fórmula de Bhaskara para achar as raízes r.
Passo 3
Aplicando Bhaskara em
mancha que as raízes são complexas conjugadas r = ½ ± i.
Passo 4
Quando as raízes são da forma α ± β i, a solução geral é
Aqui α=½ e β=1, então
Passo 5
Para achar y’(t), aplicamos a regra do produto:
Agrupando termos:
Passo 6
Agora impomos as condições iniciais. Em t=0:
Passo 7
Substituindo C_1=½ e C_2=¾ em y(t), obtemos a solução particular: