(a) Esboce a curva utilizando as equações paramétricas para traçar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada conforme
aumenta.
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.
Passo 1
Neste exercício temos as equações paramétricas x=cos²t e y=cos⁴t. O conteúdo é curva parametrizada: precisamos entender o intervalo de x e y, como a curva é desenhada conforme t cresce, e depois eliminar o parâmetro para obter a forma cartesiana.
Passo 2
Para visualizar a curva, calculemos alguns pontos-chave conforme t varia:
– t=0 ⇒ x=cos²0=1, y=cos⁴0=1 ⇒ ponto (1,1)
– t=π/2 ⇒ x=cos²(π/2)=0, y=cos⁴(π/2)=0 ⇒ ponto (0,0)
– t=π ⇒ x=cos²π=1, y=cos⁴π=1 ⇒ volta a (1,1)
Isso mostra que x varia entre 0 e 1 e y entre 0 e 1, e o ponto vai de (1,1) a (0,0) quando t vai de 0 a π/2, depois retorna de (0,0) a (1,1) de π/2 a π.
– t=0 ⇒ x=cos²0=1, y=cos⁴0=1 ⇒ ponto (1,1)
– t=π/2 ⇒ x=cos²(π/2)=0, y=cos⁴(π/2)=0 ⇒ ponto (0,0)
– t=π ⇒ x=cos²π=1, y=cos⁴π=1 ⇒ volta a (1,1)
Isso mostra que x varia entre 0 e 1 e y entre 0 e 1, e o ponto vai de (1,1) a (0,0) quando t vai de 0 a π/2, depois retorna de (0,0) a (1,1) de π/2 a π.
Passo 3
Para eliminar o parâmetro, observe que x=cos²t ⇒ cos²t=x. Substituindo em y=cos⁴t temos y=(cos²t)²=x².
A partir disso, a curva é o trecho da parábola y=x² para 0≤x≤1. No esboço, basta desenhar essa parábola limitando-se entre (0,0) e (1,1) e indicar com uma seta o sentido de traçado: de (1,1) para (0,0) quando t cresce de 0 a π/2 (e depois volta).
A partir disso, a curva é o trecho da parábola y=x² para 0≤x≤1. No esboço, basta desenhar essa parábola limitando-se entre (0,0) e (1,1) e indicar com uma seta o sentido de traçado: de (1,1) para (0,0) quando t cresce de 0 a π/2 (e depois volta).
Resposta
O arco da parábola y=x² para 0≤x≤1, traçado de (1,1) para (0,0) conforme t cresce, e a equação cartesiana é y=x².