(a) Esboce a curva utilizando as equações paramétricas para traçar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada conforme t aumenta.
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.
x=3-t, y=2 t-3, -1 <= t <= 4

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada neste exercício! Temos duas equações paramétricas:
x = 3 - t
y = 2t - 3
com $ -1 \leq t \leq 4 $.
O que precisamos fazer é:
(a) Esboçar a curva desenhando pontos para diferentes valores de $ t $ e indicar a direção em que a curva é traçada conforme $ t $ aumenta.
(b) Eliminar o parâmetro $ t $ para encontrar a equação cartesiana da curva, ou seja, uma relação direta entre $ x $ e $ y $ sem o $ t $.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a). Primeiro, precisamos entender o que são equações paramétricas. Elas descrevem as coordenadas $ x $ e $ y $ de um ponto em função de um parâmetro, que nesse caso é $ t $. Isso nos permite traçar a curva ponto a ponto variando $ t $.

Passo 3

Para esboçar a curva, vamos escolher alguns valores de $ t $ dentro do intervalo dado ($ -1 \leq t \leq 4 $) e calcular os correspondentes valores de $ x $ e $ y $.
Vamos montar uma tabela:
t

Passo 4

Agora, vamos plotar esses pontos no plano cartesiano:
cc (4, -5), & (3, -3), (2, -1), & (1, 1), (0, 3), & (-1, 5)
Ao conectar esses pontos na ordem crescente de $ t $ (de $ t = -1 $ até $ t = 4 $), teremos a curva desejada. Também vamos adicionar uma seta para indicar a direção em que a curva é traçada conforme $ t $ aumenta.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Queremos eliminar o parâmetro $ t $ para encontrar uma relação direta entre $ x $ e $ y $. Isso significa expressar $ y $ em função de $ x $ ou vice-versa, sem depender de $ t $.

Passo 6

Começamos com as equações dadas:
x = 3 - t
y = 2t - 3
Nosso objetivo é isolar $ t $ em uma das equações e substituir na outra.
Vamos isolar $ t $ na equação de $ x $:
t
t

Passo 7

Agora, substituímos $ t = 3 - x $ na equação de $ y $:
t = 3 - x
y
y = 2t - 3
y = 2(3 - x) - 3

Resposta

(a) A curva é uma reta que passa pelos pontos (4, -5), (3, -3), (2, -1), (1, 1), (0, 3) e (-1, 5), traçada na direção em que $ t $ aumenta, ou seja, da esquerda para a direita com a seta indicando essa direção.
(b) A equação cartesiana da curva é:
t

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