(a) Esboce a curva utilizando as equações paramétricas para traçar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada conforme
aumenta.
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada neste exercício! Temos duas equações paramétricas:
com $ -1 \leq t \leq 4 $.
O que precisamos fazer é:
(a) Esboçar a curva desenhando pontos para diferentes valores de $ t $ e indicar a direção em que a curva é traçada conforme $ t $ aumenta.
(b) Eliminar o parâmetro $ t $ para encontrar a equação cartesiana da curva, ou seja, uma relação direta entre $ x $ e $ y $ sem o $ t $.
(a) Esboçar a curva desenhando pontos para diferentes valores de $ t $ e indicar a direção em que a curva é traçada conforme $ t $ aumenta.
(b) Eliminar o parâmetro $ t $ para encontrar a equação cartesiana da curva, ou seja, uma relação direta entre $ x $ e $ y $ sem o $ t $.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a). Primeiro, precisamos entender o que são equações paramétricas. Elas descrevem as coordenadas $ x $ e $ y $ de um ponto em função de um parâmetro, que nesse caso é $ t $. Isso nos permite traçar a curva ponto a ponto variando $ t $.
Passo 3
Para esboçar a curva, vamos escolher alguns valores de $ t $ dentro do intervalo dado ($ -1 \leq t \leq 4 $) e calcular os correspondentes valores de $ x $ e $ y $.
Vamos montar uma tabela:
Passo 4
Agora, vamos plotar esses pontos no plano cartesiano:
Ao conectar esses pontos na ordem crescente de $ t $ (de $ t = -1 $ até $ t = 4 $), teremos a curva desejada. Também vamos adicionar uma seta para indicar a direção em que a curva é traçada conforme $ t $ aumenta.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Queremos eliminar o parâmetro $ t $ para encontrar uma relação direta entre $ x $ e $ y $. Isso significa expressar $ y $ em função de $ x $ ou vice-versa, sem depender de $ t $.
Passo 6
Começamos com as equações dadas:
Nosso objetivo é isolar $ t $ em uma das equações e substituir na outra.
Vamos isolar $ t $ na equação de $ x $:
Passo 7
Agora, substituímos $ t = 3 - x $ na equação de $ y $:
Resposta
(a) A curva é uma reta que passa pelos pontos
,
,
,
,
e
, traçada na direção em que $ t $ aumenta, ou seja, da esquerda para a direita com a seta indicando essa direção.
(b) A equação cartesiana da curva é: