(a) Esboce a curva utilizando as equações paramétricas para traçar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada conforme
aumenta.
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) esboçar a curva definida por x = cos²θ, y = sen θ e indicar o sentido de percurso conforme θ aumenta; (b) eliminar o parâmetro θ para achar a equação cartesiana. O conteúdo é parâmetros e eliminação de parâmetros usando identidades trigonométricas.
Passo 2
Para esboçar, escolhemos valores de θ em [0,2π] e calculamos (x,y):
• θ = 0 ⇒ x = cos²0 = 1, y = sen 0 = 0 ⇒ (1,0)
• θ = π/4 ⇒ x = cos²(π/4) = (√2/2)² = 1/2, y = sen (π/4) = √2/2 ⇒ (1/2, √2/2)
• θ = π/2 ⇒ x = cos²(π/2) = 0, y = sen (π/2) = 1 ⇒ (0,1)
• θ = π ⇒ x = cos²π = 1, y = sen π = 0 ⇒ (1,0)
• θ = 3π/2 ⇒ x = cos²(3π/2) = 0, y = sen (3π/2) = -1 ⇒ (0,-1)
• θ = 2π ⇒ x = 1, y = 0 ⇒ (1,0)
• θ = 0 ⇒ x = cos²0 = 1, y = sen 0 = 0 ⇒ (1,0)
• θ = π/4 ⇒ x = cos²(π/4) = (√2/2)² = 1/2, y = sen (π/4) = √2/2 ⇒ (1/2, √2/2)
• θ = π/2 ⇒ x = cos²(π/2) = 0, y = sen (π/2) = 1 ⇒ (0,1)
• θ = π ⇒ x = cos²π = 1, y = sen π = 0 ⇒ (1,0)
• θ = 3π/2 ⇒ x = cos²(3π/2) = 0, y = sen (3π/2) = -1 ⇒ (0,-1)
• θ = 2π ⇒ x = 1, y = 0 ⇒ (1,0)
Passo 3
Ligamos esses pontos e vemos que eles caem na curva x + y² = 1, que é uma parábola horizontal. À medida que θ vai de 0 a 2π, começamos em (1,0), subimos para (0,1), voltamos a (1,0), descemos para (0,-1) e retornamos a (1,0). A seta deve acompanhar esse percurso.
Passo 4
Para eliminar o parâmetro, usamos a identidade cos²θ + sen²θ = 1. Como y = sen θ, temos sen²θ = y² e
Ou seja, em forma padrão:
Resposta
A curva é o arco da parábola horizontal x + y² = 1 para y ∈ [−1,1], traçada no sentido em que θ cresce (de (1,0) a (0,1), de volta a (1,0), depois a (0,−1) e retorno a (1,0)). A equação cartesiana é x = 1 − y².