(a) Esboce a curva utilizando as equações paramétricas para traçar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada conforme
aumenta.
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão tem duas partes:
(a) Esboçar a curva usando as equações paramétricas dadas e mostrar a direção conforme $ t $ aumenta.
(b) Eliminar o parâmetro $ t $ para encontrar a equação cartesiana da curva.
Para isso, vamos precisar entender o que são equações paramétricas e como convertê-las para a forma cartesiana.
(a) Esboçar a curva usando as equações paramétricas dadas e mostrar a direção conforme $ t $ aumenta.
(b) Eliminar o parâmetro $ t $ para encontrar a equação cartesiana da curva.
Para isso, vamos precisar entender o que são equações paramétricas e como convertê-las para a forma cartesiana.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a). As equações paramétricas são:
Isso significa que $ x $ e $ y $ são definidos em função de um parâmetro $ t $. Para esboçar a curva, vamos escolher alguns valores de $ t $ e calcular os correspondentes valores de $ x $ e $ y $.
Passo 3
Vamos escolher valores de $ t $ como -1, 0, 1, 2. Calculando:
- Para $ t = -1 $:
- Para $ t = 0 $:
- Para $ t = 1 $:
- Para $ t = 2 $:
Esses pontos são: (2, -2), (4, -1), (6, 0), (8, 1).
Passo 4
Agora, plotamos esses pontos no plano cartesiano:
,
,
,
. Observamos que eles formam uma linha reta. Para indicar a direção em que a curva é traçada conforme $ t $ aumenta, colocamos uma seta apontando da esquerda para a direita, já que, conforme $ t $ aumenta, $ x $ também aumenta.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b): eliminar o parâmetro $ t $ para encontrar a equação cartesiana. Temos:
Queremos expressar $ y $ em termos de $ x $ ou vice-versa, sem o $ t $.
Passo 6
Primeiro, resolvemos uma das equações para $ t $. Vamos resolver a segunda equação para $ t $:
Agora, substituímos esse valor de $ t $ na primeira equação:
Passo 7
Simplificando a equação:
Agora, podemos escrever a equação na forma cartesiana:
Resposta
A equação cartesiana da curva é $ x = 2y + 6 $.