(a) Esboce a curva utilizando as equações paramétricas para traçar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada conforme t aumenta.
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.
x=2 t+4, y=t-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão tem duas partes:
(a) Esboçar a curva usando as equações paramétricas dadas e mostrar a direção conforme $ t $ aumenta.
(b) Eliminar o parâmetro $ t $ para encontrar a equação cartesiana da curva.
Para isso, vamos precisar entender o que são equações paramétricas e como convertê-las para a forma cartesiana.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a). As equações paramétricas são:
x = 2t + 4
y = t - 1
Isso significa que $ x $ e $ y $ são definidos em função de um parâmetro $ t $. Para esboçar a curva, vamos escolher alguns valores de $ t $ e calcular os correspondentes valores de $ x $ e $ y $.

Passo 3

Vamos escolher valores de $ t $ como -1, 0, 1, 2. Calculando:
  • Para $ t = -1 $: t t = -1
  • Para $ t = 0 $: x = 2(-1) + 4 = 2 y = -1 - 1 = -2
  • Para $ t = 1 $: t = 0 x = 2(0) + 4 = 4
  • Para $ t = 2 $: y = 0 - 1 = -1 t = 1
Esses pontos são: (2, -2), (4, -1), (6, 0), (8, 1).

Passo 4

Agora, plotamos esses pontos no plano cartesiano: (2, -2), (4, -1), (6, 0), (8, 1). Observamos que eles formam uma linha reta. Para indicar a direção em que a curva é traçada conforme $ t $ aumenta, colocamos uma seta apontando da esquerda para a direita, já que, conforme $ t $ aumenta, $ x $ também aumenta.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): eliminar o parâmetro $ t $ para encontrar a equação cartesiana. Temos:
t
x = 2t + 4
Queremos expressar $ y $ em termos de $ x $ ou vice-versa, sem o $ t $.

Passo 6

Primeiro, resolvemos uma das equações para $ t $. Vamos resolver a segunda equação para $ t $:
t
Agora, substituímos esse valor de $ t $ na primeira equação:
t

Passo 7

Simplificando a equação:
x = 2y + 2 + 4
x = 2y + 6
Agora, podemos escrever a equação na forma cartesiana:
x = 2y + 6

Resposta

A equação cartesiana da curva é $ x = 2y + 6 $.

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