Encontre a área da superfície obtida pela rotação da curva fornecida em torno do eixo x.
x=t^2+2 / t, y=8 raizt, 1 <= t <= 9

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada pela rotação da curva paramétrica em torno do eixo x. O conteúdo é “área de superfície de revolução” e vamos usar a fórmula
Para curvas paramétricas x(t),y(t) rotacionadas em torno do eixo x, a área é
S=2piintegralt=a^t=by(t)raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt

Passo 2

Calculamos as derivadas:
x(t)=t^2+2tLongrightarrow x'(t)=2t-2t^2,
y(t)=8raizt=8t^1/2Longrightarrow y'(t)=8cdot12t^-1/2=4t^-1/2

Passo 3

Agora formamos a combinação dentro da raiz:
l(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2=igl(2t-tfrac2t^2r)^2+l(4t^-1/2r)^2 
Expandindo e somando:
(2t-2/t^2)^2=4t^2-8/t+4/t^4,
(4t^-1/2)^2=16/t,
então
4t^2-8/t+4/t^4+16/t=4t^2+8/t+4/t^4=(2t+2/t^2)^2
Como t>0, a raiz é
raiz(x')^2+(y')^2=2t+2/t^2

Passo 4

Substituímos na fórmula de área:
S=2piintegral1^9y(t)l(2t+2/t^2r)dt =2piintegral1^98t^1/2l(2t+2/t^2r)dt
Fatorando 2t+2/t^2=2(t+1/t^2) e o 8, temos
S=2picdot8integral1^92t^1/2(t+1/t^2)dt=32piintegral1^9l(t^3/2+t^-3/2r)dt

Passo 5

Integramos cada termo:
integral t^3/2dt=25t^5/2,
integral t^-3/2dt=-2t^-1/2
Logo
S=32pil(25t^5/2-2t^-1/2r)|1^9

Passo 6

Avaliando em t=9 e t=1:
Em t=9:
25cdot9^5/2-2cdot9^-1/2= rac25cdot243-2/3=4865-23=4633615
Em t=1:
25cdot1-2cdot1=-85=-256160=-2565??
(Ajustando o cálculo corretamente: 2/5-2=-8/5.)

Passo 7

Subtraindo os valores e multiplicando por 32pi:
S=32pil(4633615-l(-85r)r) =32pil(4633615+2415r) =32picdot4636015 =32cdot4636015pi =148352015pi =4710415pi

Resposta

S=4710415pi.

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