Resolva o PVI:
©
©
Passo 1
Vamos resolver o Problema Variacional Inicial (PVI) que nos foi dado:
Neste exercício, vamos utilizar o método de separação de variáveis para resolver a equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação diferencial é do tipo separável, ou seja, podemos separar as variáveis $ y $ e $ x $ em lados opostos da igualdade.
Temos:
Podemos reescrever isso multiplicando ambos os lados por $ y $ e $ dx $:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral de $ y, dy $ é:
E a integral de $ x, dx $ é:
Portanto, temos:
onde $ C = C_2 - C_1 $ é uma constante de integração.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão multiplicando ambos os lados por 2:
Para encontrar o valor da constante $ C $, usamos a condição inicial $ y(0) = -3 $:
Passo 5
Substituindo o valor de $ C $ na equação $ y^2 = x^2 + C $, temos:
Agora, resolvemos para $ y $:
Mas como a condição inicial nos dá $ y(0) = -3 $, escolhemos a solução negativa:
Resposta
A solução do PVI é: