Resolva o PVI:
© ld yd x=xy y(0)=-3

Passo 1

Vamos resolver o Problema Variacional Inicial (PVI) que nos foi dado:
dydx = xy y(0) = -3
Neste exercício, vamos utilizar o método de separação de variáveis para resolver a equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação diferencial é do tipo separável, ou seja, podemos separar as variáveis $ y $ e $ x $ em lados opostos da igualdade.
Temos:
y
Podemos reescrever isso multiplicando ambos os lados por $ y $ e $ dx $:
x

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
integral y, dy = integral x, dx
A integral de $ y, dy $ é:
y, dy
E a integral de $ x, dx $ é:
12 y^2 + C1
Portanto, temos:
x, dx
onde $ C = C_2 - C_1 $ é uma constante de integração.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão multiplicando ambos os lados por 2:
y^2 = x^2 + C
Para encontrar o valor da constante $ C $, usamos a condição inicial $ y(0) = -3 $:
C

Passo 5

Substituindo o valor de $ C $ na equação $ y^2 = x^2 + C $, temos:
C
Agora, resolvemos para $ y $:
y^2 = x^2 + C
Mas como a condição inicial nos dá $ y(0) = -3 $, escolhemos a solução negativa:
y^2 = x^2 + 9

Resposta

A solução do PVI é:
y = -raizx^2 + 9

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