Esboce as curvas definidas pelas equações paramétricas dadas, indicando a direção de crescimento do parâmetro:
x=\cos t, y=\sin t, 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x=\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad 0\le t\le 2\pi
e pede para esboçar a curva definida por essas equações, indicando a direção de crescimento do parâmetro t.
Informações relevantes que temos:
  • As fórmulas para x e y em função de t (fornecidas acima).
  • O intervalo do parâmetro: t varia de 0 até 2\pi.
  • A tarefa é desenhar a curva no plano xy e mostrar em que sentido a curva é percorrida quando t aumenta.

Passo 2

Eliminar o parâmetro para identificar a curva geométrica. Uso a identidade trigonométrica fundamental \cos^2 t+\sin^2 t=1. Substituindo x=\cos t e y=\sin t obtemos a relação entre x e y:
x^2+y^2=\cos^2 t+\sin^2 t=1.
Isso significa que todos os pontos (x,y) da curva estão sobre a circunferência de raio 1 centrada na origem.
Explicação didática: eliminar o parâmetro é uma técnica que transforma as equações paramétricas em uma equação entre x e y. Aqui foi simples porque x e y são justamente \cos t e \sin t, que satisfazem a identidade trigonométrica acima.

Passo 3

Identificar pontos notáveis (facilita o esboço). Calculo as coordenadas para valores usuais de t:
\begin{aligned} t&=0: & (x,y)&=(\cos 0,\sin 0)=(1,0).\\\ t&=\tfrac{\pi}{2}: & (x,y)&=(\cos\tfrac{\pi}{2},\sin\tfrac{\pi}{2})=(0,1).\\\ t&=\pi: & (x,y)&=(\cos\pi,\sin\pi)=(-1,0).\\\ t&=\tfrac{3\pi}{2}: & (x,y)&=(\cos\tfrac{3\pi}{2},\sin\tfrac{3\pi}{2})=(0,-1).\\\ t&=2\pi: & (x,y)&=(\cos 2\pi,\sin 2\pi)=(1,0). \end{aligned}
Esses pontos correspondem aos quatro pontos cardeais da circunferência unitária e mostram que, quando t vai de 0 até 2\pi, a curva começa em (1,0) e volta a (1,0).

Passo 4

Determinar a direção de crescimento do parâmetro usando o vetor tangente. Calculo as derivadas:
\frac{dx}{dt}=-\sin t,\qquad \frac{dy}{dt}=\cos t.
O vetor tangente é \big(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\big)=(-\sin t,\cos t). Avaliando em t=0:
\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)\Big|_{t=0}=(-\sin 0,\cos 0)=(0,1),
ou seja, no ponto (1,0) (quando t=0) o vetor tangente aponta para cima. Portanto, ao aumentar t a partir de 0 o movimento sai de (1,0) indo para (0,1): isso é sentido anti-horário (sentido anti-horário = sentido contrário ao dos ponteiros do relógio).
Explicação didática: o vetor \big(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\big) dá a direção instantânea do movimento ao longo da curva quando t aumenta. Como no ponto inicial ele aponta para cima, o percurso segue sentido anti-horário.

Passo 5

Verificação geral do sentido: para qualquer t o vetor tangente (- \sin t,\cos t) é perpendicular ao raio (\cos t,\sin t) e aponta no sentido de aumento do ângulo polar t. Outra forma de ver isso é notar que a relação com coordenadas polares é direta: (x,y)=(\cos t,\sin t) corresponde ao ângulo polar t e raio 1; aumentar t gira o ponto no sentido anti-horário.

Passo 6

Velocidade e movimento uniforme (informação útil para o esboço): a velocidade escalar (magnitude do vetor velocidade) é
\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}=\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t}=1.
Portanto a partícula percorre a circunferência com velocidade constante igual a 1 (isto é, movimento uniforme em torno da circunferência). Para o esboço isso significa que os pontos estão igualmente espaçados em função de t.

Passo 7

Como esboçar passo a passo (instruções práticas para a prova):
  • Desenhe um sistema de eixos x- y.
  • Marque a circunferência de raio 1 centrada na origem, usando x^2+y^2=1.
  • Coloque os pontos notáveis: (1,0) para t=0, (0,1) para t=\tfrac{\pi}{2}, (-1,0) para t=\pi, (0,-1) para t=\tfrac{3\pi}{2} e novamente (1,0) para t=2\pi.
  • Desenhe uma seta ao longo da circunferência passando por esses pontos na ordem (1,0)\to(0,1)\to(-1,0)\to(0,-1)\to(1,0). Essa seta mostra o sentido de crescimento de t (anti-horário).
  • Se quiser indicar um ponto intermediário, por exemplo t=\tfrac{\pi}{4}, marque \big(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big) e um pequeno segmento tangente na direção \big(-\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big) para mostrar o sentido local do movimento.

Passo 8

Resumo final didático e encorajador: a curva é a circunferência unitária centrada na origem, percorrida uma vez quando t vai de 0 a 2\pi; o sentido do percurso é anti-horário, começando em (1,0) para t=0. Dá pra fazer esse esboço rapidinho na prova: escreve x^2+y^2=1, marca os pontos cardeais e coloca as setas no sentido anti-horário — pronto!

Resposta

A curva é a circunferência de raio 1 centrada na origem, dada por x^2+y^2=1; ela é percorrida uma vez quando t vai de 0 a 2\pi, no sentido anti-horário, começando em (1,0) para t=0 e retornando a (1,0) para t=2\pi.

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