Seja a \neq 0. Calcule
6) \int \frac{x^{2}-3 x+7}{x^{2}-4 x+6} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}-3x+7}{x^{2}-4x+6}\,dx.
Informações dadas: o integrando é uma função racional (quociente de polinômios) de grau do numerador igual ao grau do denominador. Não há mais condições ou parâmetros a considerar. O objetivo é encontrar uma primitiva explícita (mais uma constante de integração).

Passo 2

Como o numerador e o denominador têm o mesmo grau, começo fazendo uma divisão algébrica simplificada: subtraio o denominador do numerador para ver a diferença.
(x^{2}-3x+7)-(x^{2}-4x+6)=x+1.
Portanto posso escrever o integrando como soma de 1 mais uma fração com numerador de grau menor que o denominador:
\frac{x^{2}-3x+7}{x^{2}-4x+6}=1+\frac{x+1}{x^{2}-4x+6}.
Logo
\int \frac{x^{2}-3x+7}{x^{2}-4x+6}\,dx=\int 1\,dx+\int \frac{x+1}{x^{2}-4x+6}\,dx.

Passo 3

Para a segunda integral é útil completar o quadrado no denominador. Faço isso:
x^{2}-4x+6=(x-2)^{2}+2.
Isso é bom porque formas do tipo (x-a)^{2}+b^{2} levam a logaritmos (para numeradores proporcionais à derivada do denominador) e arctan (para a parte constante).

Passo 4

Faço a substituição simples u=x-2. Então du=dx, e o numerador x+1 vira
x+1=(u+2)+1=u+3.
A integral total torna-se
\int 1\,dx+\int \frac{u+3}{u^{2}+2}\,du.
A primeira parte é imediata: \int 1\,dx=x. Agora trato a segunda integral separando em duas parcelas:
\int \frac{u+3}{u^{2}+2}\,du=\int \frac{u}{u^{2}+2}\,du+3\int \frac{1}{u^{2}+2}\,du.

Passo 5

Avalio a primeira parcela \int \frac{u}{u^{2}+2}\,du. Uso a substituição w=u^{2}+2, então dw=2u\,du, ou seja u\,du=\tfrac{1}{2}dw. Assim
\int \frac{u}{u^{2}+2}\,du=\frac{1}{2}\int \frac{1}{w}\,dw=\frac{1}{2}\ln|w|+\text{const}=\frac{1}{2}\ln\bigl(u^{2}+2\bigr)+\text{const}.
Explicando a fórmula: \int \frac{1}{w}\,dw=\ln|w| é a primitiva básica do recíproco.

Passo 6

Agora a segunda parcela 3\int \frac{1}{u^{2}+2}\,du. Uso a forma padrão
\int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+\text{const}.
Aqui a^{2}=2, portanto a=\sqrt{2}. Logo
3\int \frac{1}{u^{2}+2}\,du=3\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)=\frac{3}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right).

Passo 7

Juntando tudo: a integral original vale
x+\frac{1}{2}\ln\bigl(u^{2}+2\bigr)+\frac{3}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)+C,
onde u=x-2. Substituo u de volta:
x+\frac{1}{2}\ln\bigl((x-2)^{2}+2\bigr)+\frac{3}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{x-2}{\sqrt{2}}\right)+C.

Resposta

x+\dfrac{1}{2}\ln\bigl((x-2)^{2}+2\bigr)+\dfrac{3}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\dfrac{x-2}{\sqrt{2}}\right)+C

Exercícios relacionados