Seja
. Calcule
6)
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Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: o integrando é uma função racional (quociente de polinômios) de grau do numerador igual ao grau do denominador. Não há mais condições ou parâmetros a considerar. O objetivo é encontrar uma primitiva explícita (mais uma constante de integração).
Passo 2
Como o numerador e o denominador têm o mesmo grau, começo fazendo uma divisão algébrica simplificada: subtraio o denominador do numerador para ver a diferença.
Portanto posso escrever o integrando como soma de
mais uma fração com numerador de grau menor que o denominador:
Logo
Passo 3
Para a segunda integral é útil completar o quadrado no denominador. Faço isso:
Isso é bom porque formas do tipo
levam a logaritmos (para numeradores proporcionais à derivada do denominador) e arctan (para a parte constante).
Passo 4
Faço a substituição simples
. Então
, e o numerador
vira
A integral total torna-se
A primeira parte é imediata:
. Agora trato a segunda integral separando em duas parcelas:
Passo 5
Avalio a primeira parcela
. Uso a substituição
, então
, ou seja
. Assim
Explicando a fórmula:
é a primitiva básica do recíproco.
Passo 6
Agora a segunda parcela
. Uso a forma padrão
Aqui
, portanto
. Logo
Passo 7
Juntando tudo: a integral original vale
onde
. Substituo
de volta: