Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
z=\frac{y}{2 x+2 x}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle z=\frac{y}{2 x+2 x} e pede: determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem. Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{o que foi dado: } z=\frac{y}{2 x+2 x}.
\text{o que é pedido: } \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}},\quad \frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y},\quad \frac{\partial^{2} z}{\partial y\partial x},\quad \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}.é
Observação: a função só está bem definida para \;x\neq 0\; porque o denominador não pode ser zero.

Passo 2

Primeiro simplificar a expressão do enunciado para ficar mais claro. Como 2x+2x=4x, temos
z=\frac{y}{4x}.
Também é útil reescrever como produto:
z=\frac{1}{4}\,y\,x^{-1}.
Isso facilita aplicar regras de derivação (tratando y ou x como constantes quando necessário).

Passo 3

Lembrando a definição operacional de derivada parcial:
\frac{\partial z}{\partial x}=\lim_{h\to 0}\frac{z(x+h,y)-z(x,y)}{h}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=\lim_{h\to 0}\frac{z(x,y+h)-z(x,y)}{h}.
Na prática, calculamos as parciais lembrando que, ao derivar em relação a x, tratamos y como constante, e ao derivar em relação a y, tratamos x como constante.

Passo 4

Calcular a primeira parcial em relação a x. Partimos de \;z=\frac{1}{4}y x^{-1}\; e derivamos em x, com y como constante. Aplicando a regra da potência \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{4}y\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr) =\frac{1}{4}y\cdot(-1)x^{-2} =-\frac{y}{4x^{2}}.
Expliquei passo a passo: multipliquei y/4 pela derivada de x^{-1}, que é -x^{-2}.

Passo 5

Calcular a primeira parcial em relação a y. Aqui x é constante, então y aparece apenas como fator linear:
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{4x}\right)=\frac{1}{4x}.
Porque \frac{d}{dy}y=1 e \frac{1}{4x} é constante em relação a y.

Passo 6

Agora a segunda parcial \displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}. Diferenciamos \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{y}{4x^{2}} em relação a x, tratando y como constante. Escrevendo -\frac{y}{4}x^{-2} e aplicando a regra da potência:
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=-\frac{y}{4}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr) =-\frac{y}{4}\cdot(-2)x^{-3} =\frac{y}{2x^{3}}.
Detalhe das constantes: -\frac{y}{4} multiplicado por -2) vira \frac{y}{2}.

Passo 7

Calcular a mista \displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}. Pegamos \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{y}{4x^{2}} e derivamos em relação a y; aqui x é tratado como constante. Como a expressão é linear em y,
\frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{y}{4x^{2}}\right)=-\frac{1}{4x^{2}}.

Passo 8

Calcular a mista na ordem inversa \displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial y\partial x}. Pegamos \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{4x} e derivamos em relação a x; aqui y é constante. Aplicando a regra da potência:
\frac{\partial^{2} z}{\partial y\partial x}=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4x}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}x^{-1}\right)=\frac{1}{4}\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{1}{4x^{2}}.
Note que as duas mistas coincidem, como esperado para funções suaves (teorema de Clairaut), desde que x\neq 0.

Passo 9

Calcular \displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}. Diferenciamos \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{4x} em relação a y. Como \frac{1}{4x} não depende de y,
\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=\frac{y}{2x^{3}}\n \displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}=-\frac{1}{4x^{2}}\n \displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial y\partial x}=-\frac{1}{4x^{2}}\n \displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0

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