Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem. Informações relevantes extraídas do enunciado:
Observação: a função só está bem definida para
porque o denominador não pode ser zero.
Passo 2
Primeiro simplificar a expressão do enunciado para ficar mais claro. Como
, temos
Também é útil reescrever como produto:
Isso facilita aplicar regras de derivação (tratando
ou
como constantes quando necessário).
Passo 3
Lembrando a definição operacional de derivada parcial:
Na prática, calculamos as parciais lembrando que, ao derivar em relação a
, tratamos
como constante, e ao derivar em relação a
, tratamos
como constante.
Passo 4
Calcular a primeira parcial em relação a
. Partimos de
e derivamos em
, com
como constante. Aplicando a regra da potência
:
Expliquei passo a passo: multipliquei
pela derivada de
, que é
.
Passo 5
Calcular a primeira parcial em relação a
. Aqui
é constante, então
aparece apenas como fator linear:
Porque
e
é constante em relação a
.
Passo 6
Agora a segunda parcial
. Diferenciamos
em relação a
, tratando
como constante. Escrevendo
e aplicando a regra da potência:
Detalhe das constantes:
multiplicado por
vira
.
Passo 7
Calcular a mista
. Pegamos
e derivamos em relação a
; aqui
é tratado como constante. Como a expressão é linear em
,
Passo 8
Calcular a mista na ordem inversa
. Pegamos
e derivamos em relação a
; aqui
é constante. Aplicando a regra da potência:
Note que as duas mistas coincidem, como esperado para funções suaves (teorema de Clairaut), desde que
.
Passo 9
Calcular
. Diferenciamos
em relação a
. Como
não depende de
,