Esboce a curvas de nível em cada caso para
.
Passo 1
Então, temos a função $ f(x, y) = \frac{y}{x^{2} + y^{2}} $ e precisamos esboçar as curvas de nível para os valores de $ k = -2, 0, 1, 2 $. As curvas de nível são linhas no plano $ xy $ onde a função assume um valor constante $ k $. Para isso, vamos resolver a equação $ \frac{y}{x^{2} + y^{2}} = k $ para cada valor de $ k $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ f(x, y) = k $. Isso quer dizer que para cada ponto $ (x, y) $ na curva de nível, a função $ f $ tem o valor $ k $. Então, temos:
Passo 3
Vamos rearranjar a equação para facilitar a resolução:
Passo 4
Expandindo a equação:
Passo 5
Vamos levar todos os termos para um lado da equação:
Passo 6
Essa é uma equação quadrática em termos de $ y $. Para resolver para $ y $, podemos usar a fórmula quadrática:
Passo 7
Agora, analisamos cada valor de $ k $:
Para $ k = -2 $
A expressão dentro da raiz quadrada $ 1 - 16x^{2} $ deve ser não negativa, então:
Isso nos mostra que as curvas de nível para $ k = -2 $ existem apenas para $ |x| \leq \frac{1}{4} $.
Para $ k = 0 $
A equação se torna:
Então, a curva de nível é o eixo $ x $.
Para $ k = 1 $
Novamente, a expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
Para $ k = 2 $
Da mesma forma, $ 1 - 16x^{2} \geq 0 \implies |x| \leq \frac{1}{4} $.
Resposta
As curvas de nível da função $ f(x, y) = \frac{y}{x^{2} + y^{2}} $ para os valores $ k = -2, 0, 1, 2 $ são:
- Para $ k = -2 $: Duas curvas existentes para $ |x| \leq \frac{1}{4} $.
- Para $ k = 0 $: O eixo $ x $.
- Para $ k = 1 $: Duas curvas existentes para $ |x| \leq \frac{1}{2} $.
- Para $ k = 2 $: Duas curvas existentes para $ |x| \leq \frac{1}{4} $.
Essas curvas representam todas as soluções das equações correspondentes a cada valor de $ k $.