Esboce a curvas de nível em cada caso para k=-2,0,1,2.
f(x, y)=yx^2+y^2

Passo 1

Então, temos a função $ f(x, y) = \frac{y}{x^{2} + y^{2}} $ e precisamos esboçar as curvas de nível para os valores de $ k = -2, 0, 1, 2 $. As curvas de nível são linhas no plano $ xy $ onde a função assume um valor constante $ k $. Para isso, vamos resolver a equação $ \frac{y}{x^{2} + y^{2}} = k $ para cada valor de $ k $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ f(x, y) = k $. Isso quer dizer que para cada ponto $ (x, y) $ na curva de nível, a função $ f $ tem o valor $ k $. Então, temos:
f(x, y) = k

Passo 3

Vamos rearranjar a equação para facilitar a resolução:
y = k(x^2 + y^2)

Passo 4

Expandindo a equação:
y = kx^2 + ky^2

Passo 5

Vamos levar todos os termos para um lado da equação:
ky^2 - y + kx^2 = 0

Passo 6

Essa é uma equação quadrática em termos de $ y $. Para resolver para $ y $, podemos usar a fórmula quadrática:
y

Passo 7

Agora, analisamos cada valor de $ k $:

Para $ k = -2 $

k
A expressão dentro da raiz quadrada $ 1 - 16x^{2} $ deve ser não negativa, então:
k = -2
Isso nos mostra que as curvas de nível para $ k = -2 $ existem apenas para $ |x| \leq \frac{1}{4} $.

Para $ k = 0 $

A equação se torna:
y = 1 pm raiz1 - 16x^2-4
Então, a curva de nível é o eixo $ x $.

Para $ k = 1 $

1 - 16x^2
Novamente, a expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
1 - 16x^2 >= 0 implies x^2 <= 116 implies |x| <= 14

Para $ k = 2 $

k = -2
Da mesma forma, $ 1 - 16x^{2} \geq 0 \implies |x| \leq \frac{1}{4} $.

Resposta

As curvas de nível da função $ f(x, y) = \frac{y}{x^{2} + y^{2}} $ para os valores $ k = -2, 0, 1, 2 $ são:
  • Para $ k = -2 $: Duas curvas existentes para $ |x| \leq \frac{1}{4} $.
  • Para $ k = 0 $: O eixo $ x $.
  • Para $ k = 1 $: Duas curvas existentes para $ |x| \leq \frac{1}{2} $.
  • Para $ k = 2 $: Duas curvas existentes para $ |x| \leq \frac{1}{4} $.
Essas curvas representam todas as soluções das equações correspondentes a cada valor de $ k $.

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