2^ a Questão:
(1,5). Sejam f e g funções reais diferenciáveis. Se z=x f(yx)+g(x / y), obtenha partial^2 zpartial x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem duas funções diferenciáveis, $ f $ e $ g $, e uma função $ z $ definida por:
f
O objetivo é encontrar a segunda derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} $. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, que é $ \frac{\partial z}{\partial x} $. A função $ z $ tem duas partes, então vamos derivar cada uma separadamente.
Para a primeira parte, $ x \cdot f\left(\frac{y}{x}\right) $, usamos a regra do produto:
z
Simplificando:
x
Para a segunda parte, $ g\left(\frac{x}{y}\right) $, usamos a regra da cadeia:
partial zpartial x
Então, a primeira derivada parcial é:
z

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} $. Para isso, precisamos derivar novamente cada termo da primeira derivada.
Primeiro, derivamos $ f\left(\frac{y}{x}\right) $:
z
Segundo, derivamos $ -\frac{y}{x} \cdot f’\left(\frac{y}{x}\right) $:
x
Aqui usamos a regra do produto novamente, derivando $ -\frac{y}{x} $ e $ f’\left(\frac{y}{x}\right) $ separadamente.
Terceiro, derivamos $ \frac{1}{y} \cdot g’\left(\frac{x}{y}\right) $:
partial^2 zpartial x^2
Aqui, a derivada de $ g’\left(\frac{x}{y}\right) $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{y} \cdot g’’\left(\frac{x}{y}\right) $.

Resposta

Assim, juntando tudo, a segunda derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $ é:
z

Exercícios relacionados