Esboce a curvas de nível em cada caso para k=-2,0,1,2.
f(x, y)=x^3-y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar as curvas de nível para $ k = -2, 0, 1, 2 $ da função $ f(x, y) = x^{3} - y $. Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente de gráficos de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrá-las a partir da função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Curvas de nível são linhas no plano $ xy $ onde a função $ f(x, y) $ tem um valor constante $ k $. Ou seja, para cada valor de $ k $, a equação $ f(x, y) = k $ nos dá uma curva específica.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função $ f(x, y) = x^{3} - y $. Queremos encontrar as curvas de nível para $ k = -2, 0, 1, 2 $. Então, vamos substituir $ f(x, y) $ por cada valor de $ k $:
  1. Para $ k = -2 $: f(x, y) = x^3 - y
  2. Para $ k = 0 $: k = -2, 0, 1, 2
  3. Para $ k = 1 $: f(x, y)
  4. Para $ k = 2 $: k

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas equações para $ y $, de forma a ficar mais fácil de visualizar as curvas:
  1. Para $ k = -2 $: y
  2. Para $ k = 0 $: k = -2
  3. Para $ k = 1 $: y = x^3 + 2
  4. Para $ k = 2 $: k = 0

Passo 5

Agora, vamos analisar o formato dessas equações. Todas elas são funções cúbicas da forma $ y = x^{3} + C $, onde $ C $ é uma constante. Isso significa que as curvas de nível são gráficos de funções cúbicas deslocadas verticalmente conforme o valor de $ C $.
  • Para $ k = -2 $: A curva está deslocada 2 unidades acima da curva básica $ y = x^{3} $.
  • Para $ k = 0 $: Essa é exatamente a curva básica $ y = x^{3} $.
  • Para $ k = 1 $: A curva está deslocada 1 unidade abaixo da curva básica.
  • Para $ k = 2 $: A curva está deslocada 2 unidades abaixo da curva básica.

Resposta

As curvas de nível para $ k = -2, 0, 1, 2 $ da função $ f(x, y) = x^{3} - y $ são funções cúbicas da forma $ y = x^{3} + C $, onde:
  • Para $ k = -2 $: $ y = x^{3} + 2 $
  • Para $ k = 0 $: $ y = x^{3} $
  • Para $ k = 1 $: $ y = x^{3} - 1 $
  • Para $ k = 2 $: $ y = x^{3} - 2 $
Essas curvas são deslocamentos verticais da curva básica $ y = x^{3} $, cada uma ajustada de acordo com o valor de $ k $.

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