Esboce a curvas de nível em cada caso para
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar as curvas de nível para $ k = -2, 0, 1, 2 $ da função $ f(x, y) = x^{3} - y $. Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente de gráficos de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrá-las a partir da função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Curvas de nível são linhas no plano $ xy $ onde a função $ f(x, y) $ tem um valor constante $ k $. Ou seja, para cada valor de $ k $, a equação $ f(x, y) = k $ nos dá uma curva específica.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função $ f(x, y) = x^{3} - y $. Queremos encontrar as curvas de nível para $ k = -2, 0, 1, 2 $. Então, vamos substituir $ f(x, y) $ por cada valor de $ k $:
- Para $ k = -2 $:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas equações para $ y $, de forma a ficar mais fácil de visualizar as curvas:
- Para $ k = -2 $:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
Passo 5
Agora, vamos analisar o formato dessas equações. Todas elas são funções cúbicas da forma $ y = x^{3} + C $, onde $ C $ é uma constante. Isso significa que as curvas de nível são gráficos de funções cúbicas deslocadas verticalmente conforme o valor de $ C $.
- Para $ k = -2 $: A curva está deslocada 2 unidades acima da curva básica $ y = x^{3} $.
- Para $ k = 0 $: Essa é exatamente a curva básica $ y = x^{3} $.
- Para $ k = 1 $: A curva está deslocada 1 unidade abaixo da curva básica.
- Para $ k = 2 $: A curva está deslocada 2 unidades abaixo da curva básica.
Resposta
As curvas de nível para $ k = -2, 0, 1, 2 $ da função $ f(x, y) = x^{3} - y $ são funções cúbicas da forma $ y = x^{3} + C $, onde:
- Para $ k = -2 $: $ y = x^{3} + 2 $
- Para $ k = 0 $: $ y = x^{3} $
- Para $ k = 1 $: $ y = x^{3} - 1 $
- Para $ k = 2 $: $ y = x^{3} - 2 $
Essas curvas são deslocamentos verticais da curva básica $ y = x^{3} $, cada uma ajustada de acordo com o valor de $ k $.