Explicite as derivadas de
f(x)=cosec x.

Passo 1

A função dada é f(x)=\operatorname{cosec} x. O conteúdo aqui é derivada de função composta: vamos precisar da definição de cosec x em termos de seno e da regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevo f(x) como potência: f(x)=(\sin x)^{-1}. Assim identifiquei função externa u(v)=v^{-1} e interna v(x)=\sin x.

Passo 3

Aplico a regra da cadeia: f’(x)=u’(v(x))\cdot v’(x). Sabendo que u’(v)=-v^{-2} e v’(x)=\cos x, temos f’(x)=- (\sin x)^{-2}\cdot \cos x.

Passo 4

Simplifico a expressão: f’(x)=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}.

Passo 5

Uso identidades trigonométricas: \frac{1}{\sin x}=\operatorname{cosec} x e \frac{\cos x}{\sin x}=\cot x. Logo \frac{\cos x}{\sin^2 x}=\operatorname{cosec} x\cot x.

Passo 6

Concluo que f’(x)=-\operatorname{cosec} x\cot x.

Resposta

f’(x) = -\operatorname{cosec} x\cot x

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