Explicite as derivadas de
.
Passo 1
A função dada é f(x)=\operatorname{cosec} x. O conteúdo aqui é derivada de função composta: vamos precisar da definição de cosec x em termos de seno e da regra da cadeia.
Passo 2
Reescrevo f(x) como potência: f(x)=(\sin x)^{-1}. Assim identifiquei função externa u(v)=v^{-1} e interna v(x)=\sin x.
Passo 3
Aplico a regra da cadeia: f’(x)=u’(v(x))\cdot v’(x). Sabendo que u’(v)=-v^{-2} e v’(x)=\cos x, temos f’(x)=- (\sin x)^{-2}\cdot \cos x.
Passo 4
Simplifico a expressão: f’(x)=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}.
Passo 5
Uso identidades trigonométricas: \frac{1}{\sin x}=\operatorname{cosec} x e \frac{\cos x}{\sin x}=\cot x. Logo \frac{\cos x}{\sin^2 x}=\operatorname{cosec} x\cot x.
Passo 6
Concluo que f’(x)=-\operatorname{cosec} x\cot x.
Resposta
f’(x) = -\operatorname{cosec} x\cot x