Esboce a curvas de nível em cada caso para k=-2,0,1,2.
f(x, y)=y e^x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos a função $ f(x, y) = y e^{x} $ e precisamos esboçar as curvas de nível para os valores $ k = -2, 0, 1, 2 $. Isso está relacionado ao estudo de curvas de nível, que são linhas no plano onde a função mantém um valor constante. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a função dada em equações que representem essas curvas para cada valor de $ k $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. É uma curva onde a função $ f(x, y) $ assume um valor constante $ k $. Então, para cada $ k $, temos:
f(x, y)
No nosso caso, isso fica:
k

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para $ y $ em termos de $ x $:
y
Isso nos mostra que para cada valor de $ k $, a curva de nível é uma função exponencial decrescente.

Passo 4

Vamos agora analisar cada valor de $ k $:
  1. Para $ k = -2 $:
    k
    Essa é uma exponencial decrescente negativa.
  2. Para $ k = 0 $:
    k = -2
    Aqui, a curva de nível é a reta $ y = 0 $, que é o eixo x.
  3. Para $ k = 1 $:
    y = -2 e^-x
    Exponencial decrescente positiva.
  4. Para $ k = 2 $:
    k = 0
    Exponencial decrescente, mas mais “espalhada” que $ y = e^{-x} $.

Passo 5

Vamos esboçar cada curva:
  • $ k = -2 $: Uma curva abaixo do eixo x, começando mais baixa e se aproximando de zero conforme $ x $ aumenta.
  • $ k = 0 $: Simplesmente o eixo x.
  • $ k = 1 $: Uma curva acima do eixo x, começando em $ y = 1 $ quando $ x = 0 $ e diminuindo conforme $ x $ aumenta.
  • $ k = 2 $: Similar a $ k = 1 $, mas começa em $ y = 2 $ quando $ x = 0 $, sendo mais alta inicialmente.

Passo 6

Resumindo, as curvas de nível para $ f(x, y) = y e^{x} $ são exponenciais decrescentes para cada valor de $ k $, com a curva $ y = 0 $ sendo o eixo x.

Resposta

As curvas de nível para $ f(x, y) = y e^{x} $ são:
  • Para $ k = -2 $: $ y = -2 e^{-x} $ (exponencial decrescente negativa)
  • Para $ k = 0 $: $ y = 0 $ (eixo x)
  • Para $ k = 1 $: $ y = e^{-x} $ (exponencial decrescente positiva)
  • Para $ k = 2 $: $ y = 2 e^{-x} $ (exponencial decrescente positiva, mais alta que $ k = 1 $)
Essas curvas representam linhas no plano onde a função mantém os valores constantes de $ k = -2, 0, 1, 2 $.

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