Esboce a curvas de nível em cada caso para
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos a função $ f(x, y) = y e^{x} $ e precisamos esboçar as curvas de nível para os valores $ k = -2, 0, 1, 2 $. Isso está relacionado ao estudo de curvas de nível, que são linhas no plano onde a função mantém um valor constante. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a função dada em equações que representem essas curvas para cada valor de $ k $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. É uma curva onde a função $ f(x, y) $ assume um valor constante $ k $. Então, para cada $ k $, temos:
No nosso caso, isso fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para $ y $ em termos de $ x $:
Isso nos mostra que para cada valor de $ k $, a curva de nível é uma função exponencial decrescente.
Passo 4
Vamos agora analisar cada valor de $ k $:
-
Para $ k = -2 $:Essa é uma exponencial decrescente negativa.
-
Para $ k = 0 $:Aqui, a curva de nível é a reta $ y = 0 $, que é o eixo x.
-
Para $ k = 1 $:Exponencial decrescente positiva.
-
Para $ k = 2 $:Exponencial decrescente, mas mais “espalhada” que $ y = e^{-x} $.
Passo 5
Vamos esboçar cada curva:
-
$ k = -2 $: Uma curva abaixo do eixo x, começando mais baixa e se aproximando de zero conforme $ x $ aumenta.
-
$ k = 0 $: Simplesmente o eixo x.
-
$ k = 1 $: Uma curva acima do eixo x, começando em $ y = 1 $ quando $ x = 0 $ e diminuindo conforme $ x $ aumenta.
-
$ k = 2 $: Similar a $ k = 1 $, mas começa em $ y = 2 $ quando $ x = 0 $, sendo mais alta inicialmente.
Passo 6
Resumindo, as curvas de nível para $ f(x, y) = y e^{x} $ são exponenciais decrescentes para cada valor de $ k $, com a curva $ y = 0 $ sendo o eixo x.
Resposta
As curvas de nível para $ f(x, y) = y e^{x} $ são:
- Para $ k = -2 $: $ y = -2 e^{-x} $ (exponencial decrescente negativa)
- Para $ k = 0 $: $ y = 0 $ (eixo x)
- Para $ k = 1 $: $ y = e^{-x} $ (exponencial decrescente positiva)
- Para $ k = 2 $: $ y = 2 e^{-x} $ (exponencial decrescente positiva, mais alta que $ k = 1 $)
Essas curvas representam linhas no plano onde a função mantém os valores constantes de $ k = -2, 0, 1, 2 $.