Escolha um modelo de EDO e crie um problema que se encaixe nesse modelo. Responda o seu modelo.
Passo 1
Vamos criar e resolver um modelo de crescimento logístico de populações. O conteúdo é EDO de separação de variáveis e frações parciais aplicado à equação logística, e vamos precisar usar separação de variáveis e decomposição em frações parciais.
Passo 2
Definimos o problema: seja P(t) o número de bactérias em milhares de células no instante t (horas). A taxa intrínseca de crescimento é r=0,5 h⁻¹ e a capacidade de suporte do meio é K=1000 (milhares de células). A condição inicial é P(0)=50. Queremos encontrar P(t).
Passo 3
Separamos variáveis na EDO logística
Passo 4
Fazemos decomposição em frações parciais. Note que
pois
Passo 5
Integramos ambos os lados:
que dá
ou
Passo 6
Aplicamos a condição inicial P(0)=50 para achar C. Em t=0:
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e isolando P,
Resposta
P(t)=\frac{1000}{1+19e^{-0,5t}} (em milhares de células)