Escolha um modelo de EDO e crie um problema que se encaixe nesse modelo. Responda o seu modelo.

Passo 1

Vamos criar e resolver um modelo de crescimento logístico de populações. O conteúdo é EDO de separação de variáveis e frações parciais aplicado à equação logística, e vamos precisar usar separação de variáveis e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Definimos o problema: seja P(t) o número de bactérias em milhares de células no instante t (horas). A taxa intrínseca de crescimento é r=0,5 h⁻¹ e a capacidade de suporte do meio é K=1000 (milhares de células). A condição inicial é P(0)=50. Queremos encontrar P(t).

Passo 3

Separamos variáveis na EDO logística
dPdt=r,P(1-PK)\ncolocando tudo em P de um lado e t do outro:
dPPl(1-P/Kr)=r,dt.

Passo 4

Fazemos decomposição em frações parciais. Note que
1Pl(1-P/Kr)=1P(1- P/K)=KP(K-P)=1P+1K-P,
pois KP(K-P)=1P+1K-P.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integrall(1P+1K-Pr),dP=integral r,dt
que dá
ln|P|-ln|K-P|=r,t+C
ou
lnPK-P=r,t+C

Passo 6

Aplicamos a condição inicial P(0)=50 para achar C. Em t=0:
ln501000-50=Cimplies C=ln50950=ln119
Logo
lnPK-P=r,t+ln119
e isolando P,
P1000-P=119e^0,5t
P(t)=10001+19e^-0,5t"]))print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=[“Vamos criar e resolver um modelo de crescimento logístico de populações. O conteúdo é EDO de separação de variáveis e frações parciais aplicado à equação logística, e vamos precisar usar separação de variáveis e decomposição em frações parciais.”,

Resposta

P(t)=\frac{1000}{1+19e^{-0,5t}} (em milhares de células)

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