Inicial um tanque contém 50 l de água pura. Uma solução salina de 2 g de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 l / m. A mistura é drenada à mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante.

Passo 1

O enunciado diz que temos um tanque de volume constante de 50 L, inicialmente só com água pura, e entra uma solução salina de concentração 2 g/L à vazão de 5 L/min, saindo a mesma vazão. O conteúdo é um problema de mistura que leva a uma equação diferencial para a quantidade de sal no tanque.

Passo 2

Denotando por S(t) a massa de sal (em gramas) no tanque no instante t (min), a taxa de entrada de sal é 2 g/L×5 L/min=10 g/min. A concentração no tanque é S(t)/50, logo a saída de sal é (S(t)/50)×5= S(t)/10 g/min. Assim obtemos a ODE:
[** dSdt=10-S10**]

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear de 1ª ordem no formato dSdt+110S=10. Calculamos o fator integrante:
[** mu(t)=e^integral 110dt=e^t/10**]

Passo 4

Multiplicando a ODE por e^t/10 temos
[** e^t/10dSdt+110e^t/10S=10e^t/10]
que reconcilia-se em uma derivada do produto:
[
ddtl(Se^t/10r)=10e^t/10**]

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a t:
[** Se^t/10=integral 10e^t/10dt=100e^t/10+C**]

Passo 6

Isolando S(t):
[** S(t)=100+Ce^-t/10**]

Passo 7

Usando a condição inicial S(0)=0 (água pura no início), obtemos 0=100+C ⇒ C=−100, levando à solução final.

Resposta

S(t)=100l(1-e^-t/10r) g

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