Inicial um tanque contém
de água pura. Uma solução salina de
de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de
. A mistura é drenada à mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante.
Passo 1
O enunciado diz que temos um tanque de volume constante de 50 L, inicialmente só com água pura, e entra uma solução salina de concentração 2 g/L à vazão de 5 L/min, saindo a mesma vazão. O conteúdo é um problema de mistura que leva a uma equação diferencial para a quantidade de sal no tanque.
Passo 2
Denotando por S(t) a massa de sal (em gramas) no tanque no instante t (min), a taxa de entrada de sal é 2 g/L×5 L/min=10 g/min. A concentração no tanque é S(t)/50, logo a saída de sal é (S(t)/50)×5= S(t)/10 g/min. Assim obtemos a ODE:
[**
**]
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear de 1ª ordem no formato
. Calculamos o fator integrante:
[**
**]
Passo 4
Multiplicando a ODE por
temos
[**
]
que reconcilia-se em uma derivada do produto:
[ **]
que reconcilia-se em uma derivada do produto:
[
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a t:
[**
**]
Passo 6
Isolando S(t):
[**
**]
Passo 7
Usando a condição inicial S(0)=0 (água pura no início), obtemos 0=100+C ⇒ C=−100, levando à solução final.