A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante do meio ambiente. Sendo assim, suponha que uma liga metálica foi retirado do forno a uma temperatura 3000^circ c e 3 minutos depois a sua temperatura passa para 2000^circ c. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a temperatura ambiente de 30^circ c.

Passo 1

Neste exercício, a gente está usando a lei de resfriamento de Newton: a taxa de variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do meio ambiente. Aqui, a temperatura inicial é T(0)=3000^circC, a temperatura ambiente é Ta=30^circC e sabemos que T(3)=2000^circC. Vamos achar o tempo até chegar a 30^circC.

Passo 2

A equação diferencial dada pela lei de Newton é
dTdt=-kl(T(t)-Tar)
Integrando essa ODE de primeira ordem e usando constante de integração, obtemos a solução geral
T(t)=Ta+l(T(0)-Tar)e^-kt
Isso vem de separar variáveis e integrar.

Passo 3

Vamos determinar a constante k. Substituímos T(0)=3000 e T(3)=2000:
2000 = 30 + (3000-30)e^-3k
Logo,
1970 = 2970,e^-3k
e^-3k=19702970approx0.6633
Tomando o logaritmo natural,
-3k = ln(0.6633)approx -0.410
Portanto
kapprox 0.137;min^-1.

Passo 4

Agora escrevemos a solução completa:
T(t)=30 + 2970,e^-0.137,t
Queremos achar t^* tal que T(t^*)=30. Substituindo,
30 = 30 + 2970,e^-0.137,t^*
Isso implica
2970,e^-0.137,t^*=0
Para que o exponencial seja zero, precisaríamos de t^*toinfty.

Passo 5

Segundo o modelo da lei de resfriamento de Newton, a temperatura se aproxima assintoticamente da do meio, mas nunca a alcança em tempo finito. Portanto, o tempo necessário para chegar exatamente a 30^circC é infinito.

Resposta

O tempo para que a liga metálica atinja exatamente 30^circC é infinito.

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