A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante do meio ambiente. Sendo assim, suponha que uma liga metálica foi retirado do forno a uma temperatura
e 3 minutos depois a sua temperatura passa para
c. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a temperatura ambiente de
.
Passo 1
Neste exercício, a gente está usando a lei de resfriamento de Newton: a taxa de variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do meio ambiente. Aqui, a temperatura inicial é
, a temperatura ambiente é
e sabemos que
. Vamos achar o tempo até chegar a
.
Passo 2
A equação diferencial dada pela lei de Newton é
Integrando essa ODE de primeira ordem e usando constante de integração, obtemos a solução geral
Isso vem de separar variáveis e integrar.
Passo 3
Vamos determinar a constante
. Substituímos
e
:
Logo,
Tomando o logaritmo natural,
Portanto
Passo 4
Agora escrevemos a solução completa:
Queremos achar
Isso implica
Para que o exponencial seja zero, precisaríamos de
Passo 5
Segundo o modelo da lei de resfriamento de Newton, a temperatura se aproxima assintoticamente da do meio, mas nunca a alcança em tempo finito. Portanto, o tempo necessário para chegar exatamente a
é infinito.
Resposta
O tempo para que a liga metálica atinja exatamente
é infinito.