Esboce as curvas de nível
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço das curvas de nível da função
Aqui o conteúdo é “curvas de nível” de uma função de duas variáveis, ou seja, o conjunto de pontos
tais que
para constantes
. Para resolver, vamos impor
e ver que geometria isso descreve no plano.
Passo 2
Impondo a condição da curva de nível
onde
é uma constante, multiplicamos ambos os lados por
e obtemos
Passo 3
Isolando
, temos
ou seja
Para que isso faça sentido, precisamos de
. Fora desse intervalo aparecem casos-degénere:
- Se
, a equação original força , ou seja, a reta vertical . - Se
, força , ou seja, a reta horizontal .
Passo 4
Concluímos que, para cada
, a curva de nível é o par de retas
À medida que
varia de 0 a 1,
varia de
(reta quase vertical) a 0 (reta quase horizontal).
Resposta
As curvas de nível de
são as retas
para cada
, mais as retas especiais
quando
e
quando
. Essas retas passam sempre pela origem, abrindo ângulo
com o eixo
dado por
.