Esboce as curvas de nível
f(x, y)=x^2x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o esboço das curvas de nível da função
f(x,y)=x^2x^2+y^2
Aqui o conteúdo é “curvas de nível” de uma função de duas variáveis, ou seja, o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c para constantes c. Para resolver, vamos impor f(x,y)=c e ver que geometria isso descreve no plano.

Passo 2

Impondo a condição da curva de nível
x^2x^2+y^2=c,
onde c é uma constante, multiplicamos ambos os lados por x^2+y^2 e obtemos
x^2 = c,(x^2+y^2) Longrightarrow x^2 = c,x^2 + c,y^2 Longrightarrow x^2(1-c) = c,y^2

Passo 3

Isolando y^2, temos
y^2 = 1-cc;x^2,
ou seja
y = pm raiz1-cc;x
Para que isso faça sentido, precisamos de 0<c<1. Fora desse intervalo aparecem casos-degénere:
  • Se c=0, a equação original tfracx^2x^2+y^2=0 força x=0, ou seja, a reta vertical x=0.
  • Se c=1, tfracx^2x^2+y^2=1 força y=0, ou seja, a reta horizontal y=0.

Passo 4

Concluímos que, para cada cin(0,1), a curva de nível é o par de retas
y = mc,x e y = -mc,x, com mc = raiz1-cc
À medida que c varia de 0 a 1, mc varia de +infty (reta quase vertical) a 0 (reta quase horizontal).

Resposta

As curvas de nível de f(x,y) são as retas
y = pm raiz1-cc;x,
para cada cin(0,1), mais as retas especiais x=0 quando c=0 e y=0 quando c=1. Essas retas passam sempre pela origem, abrindo ângulo theta com o eixo x dado por theta=arctanl(raiztfrac1-ccr).

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