Questão 3. (2 pontos) Sabendo-se que y1=e^-x é uma solução da equação
x y^prime prime+(1+2 x) y^prime+(1+x) y=0
Use o método de D’Alembert para achar uma segunda solução linearmente independente de y1.

Passo 1

O enunciado dá a equação
x,y''+(1+2x),y'+(1+x),y=0
e informa que y1(x)=e^-x é uma solução. Vamos usar o método de D’Alembert (redução de ordem) para encontrar uma segunda solução linearmente independente.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão
y''+P(x),y'+Q(x),y=0,
onde
P(x)=1+2xx=2+1x, Q(x)=1+xx=1+1x

Passo 3

Pelo método de redução de ordem, procuramos
y2(x)=y1(x),u(x),
onde
u(x)=integral e^-integral P(x),dxy1(x)^2,dx

Passo 4

Calculamos
integral P(x),dx=integrall(2+1xr),dx=2x+ln|x|Longrightarrow e^-integral P,dx=e^-2xx
Como y1(x)^2=e^-2x, temos
e^-integral P,dxy1^2 =e^-2x/xe^-2x =1x

Passo 5

Integramos
u(x)=integral 1x,dx=ln|x|
Logo
y2(x)=y1(x),ln|x|=e^-xln|x|
Para x>0, basta tomar y2(x)=e^-xln(x).

Resposta

A segunda solução linearmente independente é
y2(x)=e^-xln(x)

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