Obtenha a equação da reta tangente à curva y=arccotg(2^x) no ponto de abscissa nula.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva y = arccotg(2^x) no ponto de abscissa 0. O conteúdo principal é derivadas de funções compostas envolvendo a inversa trigonométrica arccotg e a exponencial 2^x. Para resolver, vamos precisar de (i) o valor de y em x=0 e (ii) a derivada y' em x=0, usando a regra da cadeia e a fórmula de dduarccotg(u).

Passo 2

Para encontrar o ponto de tangência, calculamos y(0). Primeiro
2^0 = 1,
então
y(0) = arccotg(1)
Como arccotg(1) = tfracpi4, o ponto de tangência é
l(0,tfracpi4r)

Passo 3

Derivamos y = arccotg(u) com u = 2^x. Sabemos que
dduarccotg(u) = -11 + u^2, dudx = ddx2^x = 2^x ln 2
Pela regra da cadeia,
y' = dydx = dduarccotg(u),dudx = -2^x ln 21 + (2^x)^2 = -2^x ln 21 + 4^x

Passo 4

Agora avaliamos a derivada em x=0:
y'(0) = -2^0 ln 21 + 4^0 = -1cdot ln 21 + 1 = -ln 22

Passo 5

A reta tangente em l(0,tfracpi4r) com coeficiente angular m = y'(0) tem equação ponto-declive
y - pi4 = -ln 22,(x - 0)
Isolando y,
y = -ln 22,x + pi4

Resposta

A equação da reta tangente é
y = -ln 22,x + pi4

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