Determine, se existirem, os valores máximo e mínimo da função f(x)=integral0^x e^-t^2 d t, com x in[0,1].
Pelo TFC, temos f^prime(x)=dd x integral0^x e^-t^2 d t=e^-x^2, para todo x in[0,1].
Assim, como f^prime(x)=e^-x^2>0 em [0,1], f é crescente em [0,1] (pelo Teste C/D) e o valor máximo é f(1)=integral0^1 e^-t^2 d t atingindo no extremo direito do intervalo.
Pela mesma razão, o valor mínimo de f é atingindo no extremo esquerdo do intervalo e vale f(0)=integral0^0 e^-t^2 d t=0 .

Passo 1

O enunciado pede os valores máximo e mínimo da função
f(x)=integral0^xe^-t^2,dt
no intervalo [0,1].
O conteúdo usado será o Teorema Fundamental do Cálculo para obter f'(x) e o teste de monotonicidade para decidir onde f atinge extremos.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de f é
f'(x)=ddxintegral0^xe^-t^2,dt=e^-x^2,
válida para todo xin[0,1].

Passo 3

Observamos que, para todo xin[0,1],
e^-x^2>0
Logo, f'(x)>0 em [0,1], o que implica que f é estritamente crescente nesse intervalo.

Passo 4

Como f é crescente em [0,1], seu valor mínimo ocorre em x=0 e seu valor máximo em x=1. Calculamos:
f(0)=integral0^0e^-t^2,dt=0,
f(1)=integral0^1e^-t^2,dt

Resposta

Valor mínimo: f(0)=0.
Valor máximo: f(1)=integral0^1e^-t^2,dt.

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