Esboce as curvas de nível e o gráfico da função abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos as curvas de nível e o gráfico da função $ f(x, y) = 5x^{2} + 9y^{2} $. Isso envolve conceitos de funções de duas variáveis e um pouco de geometria analítica. Vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representar graficamente uma função de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano $ xy $ onde a função $ f(x, y) $ tem um valor constante. Ou seja, para um valor fixo $ c $, a curva de nível é definida por $ f(x, y) = c $. No nosso caso, isso fica:
Passo 3
Agora, vamos rearranjar essa equação para identificar a forma geométrica das curvas de nível. Dividindo ambos os lados por $ c $, temos:
Essa é a equação geral de uma elipse, onde os termos de $ x $ e $ y $ têm coeficientes positivos diferentes. Portanto, as curvas de nível da função dada são elipses centradas na origem.
Passo 4
Para esboçar as curvas de nível, vamos escolher alguns valores de $ c $ e traçar as respectivas elipses. Por exemplo, vamos escolher $ c = 5, 10, 15 $.
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Para $ c = 5 $:Aqui, o semi-eixo $ a $ em $ x $ é 1 e o semi-eixo $ b $ em $ y $ é $ \sqrt{\frac{5}{9}} \approx 0.74 $.
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Para $ c = 10 $:Agora, $ a = \sqrt{2} \approx 1.41 $ e $ b = \sqrt{\frac{10}{9}} \approx 1.05 $.
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Para $ c = 15 $:Aqui, $ a = \sqrt{3} \approx 1.73 $ e $ b = \sqrt{\frac{5}{3}} \approx 1.29 $.
Passo 5
Com esses pontos, podemos desenhar as elipses no mesmo gráfico, cada uma maior que a anterior, todas centradas na origem. Isso nos dá uma boa ideia das curvas de nível da função.
Passo 6
Agora, vamos pensar no gráfico tridimensional da função $ f(x, y) = 5x^{2} + 9y^{2} $. Esse tipo de função cria uma superfície chamada paraboloide elíptico, que se abre para cima. As curvas de nível que desenhamos são as interseções desse paraboloide com planos horizontais $ z = c $.
Resposta
As curvas de nível de $ f(x, y) = 5x^{2} + 9y^{2} $ são elipses centradas na origem, cada uma correspondente a um valor constante de $ c $. O gráfico da função é um paraboloide elíptico que se abre para cima, com as curvas de nível formando elipses maiores conforme $ c $ aumenta.