O enunciado descreve um sistema linear de três populações com dinâmica dxdt=Ax, onde x=(x1,x2,x3)^T. Vamos usar teoria de sistemas lineares e análise de autovalores para estudar estabilidade e tendência das populações.
Passo 2
Primeiro, encontramos os pontos de equilíbrio resolvendo Ax=0. Como a matriz
A=-2 & 1 & 01 & -1 & 10 & 1 & -2,
o único vetor que satisfaz Ax=0 é x=0. Logo, o único equilíbrio é (0,0,0).
Passo 3
Em seguida, construímos o polinômio característico de A definindo det(A-lambda I)=0:
(-2-lambda)l((-1-lambda)(-2-lambda)-1r)-1l(1cdot(-2-lambda)-0r)=0,que se simplifica a
(lambda+2)(lambda^2+3lambda-1)=0
Passo 5
Resolvendo as raízes, temos
lambda1=-2, lambda2,3=-3pmraiz9+42=-3pmraiz132
Passo 6
Numericamente, lambda2approx0.303>0 e lambda3approx-3.303<0. Como existe um autovalor positivo, o equilíbrio trivial é instável.
Logo, o sistema não tende a um equilíbrio estável nem à extinção geral; em certos modos de perturbação as populações crescem exponencialmente.
Resposta
O ponto de equilíbrio (0,0,0) é um ponto de sela (instável), pois há um autovalor positivo. Assim, o sistema não tende para um equilíbrio estável nem à extinção geral das espécies.