Em um ecossistema, três espécies x1(t), x2(t) e x3(t) competem por recursos naturais. A evolução de suas populações é governada pelo sistema:
l d x1d t=-2 x1+x2 d x2d t=x1-x2+x3 d x3d t=x2-2 x3
© O sistema tende ao equilíbrio ou a extinção de alguma espécie?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema linear de três populações com dinâmica dxdt=Ax, onde x=(x1,x2,x3)^T. Vamos usar teoria de sistemas lineares e análise de autovalores para estudar estabilidade e tendência das populações.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de equilíbrio resolvendo Ax=0. Como a matriz
A=-2 & 1 & 01 & -1 & 10 & 1 & -2,
o único vetor que satisfaz Ax=0 é x=0. Logo, o único equilíbrio é (0,0,0).

Passo 3

Em seguida, construímos o polinômio característico de A definindo det(A-lambda I)=0:
det-2-lambda & 1 & 01 & -1-lambda & 10 & 1 & -2-lambda=0

Passo 4

Calculando o determinante, obtemos
(-2-lambda)l((-1-lambda)(-2-lambda)-1r)-1l(1cdot(-2-lambda)-0r)=0,que se simplifica a
(lambda+2)(lambda^2+3lambda-1)=0

Passo 5

Resolvendo as raízes, temos
lambda1=-2, lambda2,3=-3pmraiz9+42=-3pmraiz132

Passo 6

Numericamente, lambda2approx0.303>0 e lambda3approx-3.303<0. Como existe um autovalor positivo, o equilíbrio trivial é instável.
Logo, o sistema não tende a um equilíbrio estável nem à extinção geral; em certos modos de perturbação as populações crescem exponencialmente.

Resposta

O ponto de equilíbrio (0,0,0) é um ponto de sela (instável), pois há um autovalor positivo. Assim, o sistema não tende para um equilíbrio estável nem à extinção geral das espécies.

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