Determine se a série é convergente ou divergente.
(e) sumn=1^infty n!n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty n!n é convergente ou divergente. Aqui o conteúdo principal são séries numéricas e vamos precisar usar o critério do termo geral (também chamado de teste da divergência).

Passo 2

Para que uma série sum an seja convergente, é necessário (mas não suficiente) que o termo geral an tenda a zero quando ntoinfty. Se an não for zero no limite, a série diverge imediatamente.

Passo 3

O termo geral da nossa série é
an = n!n,
e podemos simplificá-lo escrevendo

Passo 4

Como sabemos da definição de fatorial, (n-1)! cresce sem limite quando ntoinfty. Logo,
limntoinftyan = limntoinfty(n-1)! = +infty neq 0

Passo 5

Pelo critério do termo geral, se limntoinftyan neq 0, a série sum an diverge.

Resposta

A série diverge pelo critério do termo geral, pois an não tende a zero (tende a infinito).

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