Esboce as curvas de nível de f, para os seguintes c : f(x, y)=ln (x^2+y^2-1), c= 0, pm 1.

Passo 1

A questão pede o esboço das curvas de nível de f(x,y)=ln(x^2+y^2-1) para c=0,pm1. O conteúdo é curvas de nível de uma função de duas variáveis e vamos precisar usar a definição f(x,y)=c para identificar essas curvas e entender o domínio de f.

Passo 2

Começamos impondo f(x,y)=c. Isso dá:
lnl(x^2+y^2-1r)=c
Elevando exponencialmente ambos os lados obtemos:
x^2+y^2-1=e^c
isto é
x^2+y^2=1+e^c
Portanto cada curva de nível é um círculo centrado na origem com raio r=raiz1+e^c.

Passo 3

Agora calculamos os raios para cada valor de c:
  • Para c=-1: r=raiz1+e^-1=raiz1+1/e.
  • Para c=0: r=raiz1+e^0=raiz2.
  • Para c=1: r=raiz1+e^1=raiz1+e.

Passo 4

Vale lembrar que o domínio de f exige x^2+y^2-1>0, ou seja r>1. Como raiz1+1/e>1, raiz2>1 e raiz1+e>1, todas as três curvas estão no domínio.

Passo 5

O esboço consiste em três círculos concêntricos de raios raiz1+1/e, raiz2 e raiz1+e, centrados em (0,0), com o círculo de menor raio correspondendo a c=-1 e o de maior raio a c=1.

Resposta

As curvas de nível são círculos centrados em (0,0) de raios:
c = –1: r=raiz1+1/e
c = 0: r=raiz2
c = +1: r=raiz1+e

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