Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas: y=6 x-x^2, y=x^2-2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas y=6x - x^2 e y=x^2 -2x. O conteúdo envolvido é cálculo de área entre curvas: precisamos achar os pontos de interseção, decidir qual função fica por cima e então integrar a diferença entre elas.

Passo 2

Igualamos as duas expressões para encontrar os pontos de interseção:
6x - x^2 = x^2 - 2x
Reorganizando, temos
6x - x^2 - x^2 + 2x = 0 implies 8x - 2x^2 = 0 implies 2x(4 - x) = 0
Logo os valores de x são x=0 e x=4.

Passo 3

Para ver qual curva é superior entre 0 e 4, notamos que:
(6x - x^2) - (x^2 - 2x) = 8x - 2x^2 = 2x(4 - x)
No intervalo 0, 2x(4-x)>0, então y=6x - x^2 está acima de y = x^2 -2x.

Passo 4

Montamos a integral da diferença entre as funções de x=0 a x=4:
A = integral0^4 l[(6x - x^2) - (x^2 - 2x)r] ,dx = integral0^4 (8x - 2x^2) ,dx

Passo 5

Calculamos a integral:
integral (8x - 2x^2) ,dx = 4x^2 - tfrac23x^3 + C
Avaliada de 0 a 4:
A = l(4cdot4^2 - tfrac23cdot4^3r) - 0 = 64 - tfrac1283 = tfrac643

Resposta

643

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