Esboce as curvas de nível de f, para os seguintes c : f(x, y)=raiz100-x^2-y^2, c= 0,8,10.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas de nível da função f(x,y)=raiz100 - x^2 - y^2 para os valores de c=0,8,10. O conteúdo envolvido é curvas de nível de uma função, e vamos precisar usar a definição de nível: f(x,y)=c define uma curva no plano.

Passo 2

Para encontrar explicitamente as curvas, igualamos f(x,y) a c:
raiz100 - x^2 - y^2 = c
Elevando ao quadrado, obtemos
100 - x^2 - y^2 = c^2
Reorganizando, fica
x^2 + y^2 = 100 - c^2
Isso mostra que cada curva de nível é um círculo centrado na origem com raio raiz100 - c^2, desde que 100 - c^2>=0.

Passo 3

Agora avaliamos para cada valor de c:
  • Para c=0: x^2 + y^2 = 100 - 0^2 = 100, ou seja, círculo de raio raiz100=10.
  • Para c=8: x^2 + y^2 = 100 - 8^2 = 100 - 64 = 36, ou seja, círculo de raio raiz36=6.
  • Para c=10: x^2 + y^2 = 100 - 10^2 = 100 - 100 = 0, que é o círculo degenerado de raio zero, isto é, o ponto (0,0).

Passo 4

Para esboçar: desenhe no mesmo sistema de coordenadas três círculos concêntricos centrados em (0,0), com raios 10, 6 e 0 (ponto). Etiquete cada um com o valor de c correspondente.

Passo 5

Pronto—temos as curvas de nível da f para cada c pedido.

Resposta

As curvas de nível são círculos centrados na origem com raio raiz100 - c^2. Para c=0 raio 10, para c=8 raio 6 e para c=10 raio 0 (ponto em (0,0)).

Exercícios relacionados