integral raizcos z sen^3 z d z

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral indefinida integral raizcos z,sin^3 z,dz. O conteúdo principal é integração por substituição, apoiada em identidades trigonométricas.

Passo 2

Reescrevemos sin^3 z como sin z,(1-cos^2 z), usando a identidade sin^2 z = 1-cos^2 z. Assim o integrando fica raizcos z,sin z,(1-cos^2 z).

Passo 3

Fazemos a substituição u=cos z, de onde du = -sin z,dz. Logo sin z,dz = -du e a integral vira
[ -\displaystyle \int u{1/2}(1-u2),du ].

Passo 4

Distribuindo dentro da integral temos u^1/2(1-u^2)=u^1/2-u^5/2. Então
[ -\displaystyle \int (u{1/2}-u{5/2}),du = -\Bigl(\tfrac{2}{3}u{3/2}-\tfrac{2}{7}u{7/2}\Bigr)+C = -\tfrac{2}{3}u{3/2}+\tfrac{2}{7}u{7/2}+C ].

Passo 5

Voltando à variável original com u=cos z, concluímos que
integral raizcos z,sin^3 z,dz = tfrac27cos^7/2z - tfrac23cos^3/2z + C.

Resposta

27cos^7/2z - 23cos^3/2z + C

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