Esboce as curvas de nível da superfície z=ln (raizx^2+y^2), para os níveis k=0 e 1

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos as curvas de nível da superfície
z = lnl(raizx^2 + y^2r)
nos planos onde z=k para k=0 e k=1. O conteúdo aqui é entender que curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) tais que z assume um valor fixo k.

Passo 2

Para obter a curva de nível geral, basta resolver
lnl(raizx^2 + y^2r) = k
Aplicando exponencial dos dois lados temos
raizx^2 + y^2 = e^k Longrightarrow x^2 + y^2 = e^2k
Logo, cada curva de nível é um círculo de raio e^k, centrado na origem.

Passo 3

No caso k=0, o raio é
e^0 = 1,
logo a curva de nível é
x^2 + y^2 = 1,
um círculo de raio 1 no plano xy.

Passo 4

No caso k=1, o raio é
e^1 = e,
logo a curva de nível é
x^2 + y^2 = e^2,
um círculo de raio e no plano xy.

Resposta

As curvas de nível para k=0 e k=1 são, respectivamente, os círculos
x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = e^2,
ambos centrados na origem.

Exercícios relacionados