5.2M Um corpo à temperatura de 50^circ F é colocado ao ar livre onde a temperatura é 100^circ F. Se, após 5 minutos, a temperatura do corpo é de 60^circ F, determine (a) o tempo t necessário para que o corpo atinja a temperatura de 75^circ F e (b) a temperatura T do corpo após 20 minutos.

Passo 1

O enunciado descreve um corpo cuja temperatura T(t) satisfaz a Lei de Newton do Resfriamento/Aquecimento, com temperatura ambiente constante de 100^circF. Sabemos que T(0)=50^circF e que T(5)=60^circF. Vamos usar a equação diferencial
dTdt=kl(Tamb-T(t)r)
para depois determinar (a) o tempo para T=75^circF e (b) T(20).

Passo 2

A solução geral da equação
dTdt=kl(100 - Tr)
é dada por
T(t)=100 + C,e^-k t
Impondo T(0)=50 obtemos
50 = 100 + CLongrightarrow C=-50,
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T(t)=100 - 50,e^-k t

Passo 3

Usando T(5)=60 temos
60 = 100 - 50,e^-5k Longrightarrow 50,e^-5k=40 Longrightarrow e^-5k=0,8 Longrightarrow k=-15ln(0,8)approx0,04463 min^-1

Passo 4

Para achar o tempo t em que T(t)=75 resolvemos
75 = 100 - 50,e^-k t Longrightarrow 50,e^-k t=25 Longrightarrow e^-k t=0,5 Longrightarrow t=-1kln(0,5)=ln2k
Substituindo kapprox0,04463,
tapprox0,69310,04463approx15,53 min

Passo 5

Para calcular T(20) usamos
T(20)=100 - 50,e^-20k
Como e^-20k=(e^-5k)^4=0,8^4=0,4096, segue
T(20)=100 - 50cdot0,4096=100 -20,48approx79,52^circF

Resposta

(a) tapprox15,53 minutos.
(b) T(20)approx79,52^circF

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