Estabeleça o valor de m para o qual a função y=cos 3 x satisfaz a equação y^(4)+m y=0, para todo x in R.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a função y = cos(3x) e queremos encontrar o valor de m tal que
y^(4) + m,y = 0
para todo x in R. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas sucessivas e aplicação em equação diferencial linear.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de y = cos(3x) até a quarta ordem, usando a regra da cadeia e que ddxcos(u) = -sin(u),u':
y' = -3sin(3x)
y'' = -9cos(3x)
y''' = 27sin(3x)
y'''' = 81cos(3x)
Portanto, y^(4) = 81cos(3x).

Passo 3

Substituindo em y^(4) + m,y = 0 temos
81cos(3x) + mcos(3x) = (81 + m)cos(3x) = 0
Para que isso seja verdade para todo x, o coeficiente deve anular:
81 + m = 0 Longrightarrow m = -81

Resposta

m = -81

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