(a) Esboce as curvas de nível u(x, y)=c1 e v(x, y)=c2 relacionadas à função analítica f(z)=z^2.
(b) Descreva as curvas de nível de f(z)=1 / z.
© Descreva a curva de nível v(x, y)=0 da função
f(z)=z+1z

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e descrever as curvas de nível da parte real e imaginária de funções analíticas: (a) f(z)=z^2, (b) f(z)=1/z e © f(z)=z+1/z. Para isso vamos escrever cada função em termos de z=x+iy, separar em u(x,y) e v(x,y) e resolver u=c e v=c usando conhecimentos de geometria analítica (cônicas e círculos).

Passo 2

Para f(z)=z^2 tomamos z=x+iy e calculamos
z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+i,2xy
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u(x,y)=x^2-y^2, v(x,y)=2xy
As curvas de nível são obtidas impondo u=c_1 e v=c_2.

Passo 3

A curva u(x,y)=c_1 é dada por
x^2-y^2=c1
que é um conjunto de hipérbolas alinhadas com os eixos x e y. A curva v(x,y)=c_2 é
2xy=c2Longrightarrow xy=c22
o que também forma hipérbolas, mas com eixos rotacionados de 45°.

Passo 4

Para f(z)=1/z escrevemos
1z=x-iyx^2+y^2=u(x,y)+i,v(x,y)
daí
u(x,y)=xx^2+y^2, v(x,y)=-yx^2+y^2
As curvas de nível u=c_1 e v=c_2 vêm de resolver essas igualdades.

Passo 5

Impondo u(x,y)=c_1 temos
xx^2+y^2=c1Longrightarrow c1(x^2+y^2)-x=0
Completando quadrado em x obtemos um círculo de centro l(tfrac12c1,0r) e raio tfrac12|c1|. De modo análogo, v(x,y)=c_2 leva a
-yx^2+y^2=c2Longrightarrow c2(x^2+y^2)+y=0,
o que dá um círculo de centro l(0,-tfrac12c2r) e raio tfrac12|c2|.

Passo 6

Para f(z)=z+1/z temos
Iml(z+tfrac1zr)=y-yx^2+y^2=v(x,y)
Impondo v(x,y)=0:
y-yx^2+y^2=0Longrightarrow yl(1-1x^2+y^2r)=0
Isso dá duas famílias: ou y=0 (o eixo real) ou x^2+y^2=1 (o círculo unitário).

Resposta

(a) As curvas u =c1: x2–y2=c_1 são hipérbolas alinhadas aos eixos; v =c2: 2xy=c_2 (ou xy=c_2/2) são hipérbolas rotacionadas 45°. (b) Para f(z)=1/z, u=c_1 dá círculos de centro (1/(2c_1),0) e raio 1/(2|c_1|); v=c_2 dá círculos de centro (0,−1/(2c_2)) e raio 1/(2|c_2|). © Em f(z)=z+1/z a curva v=0 é y=0 (eixo real) junto com o círculo x2+y2=1.

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