(a) Esboce as curvas de nível
e
relacionadas à função analítica
.
(b) Descreva as curvas de nível de
.
© Descreva a curva de nível
da função
(b) Descreva as curvas de nível de
© Descreva a curva de nível
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e descrever as curvas de nível da parte real e imaginária de funções analíticas: (a) f(z)=z^2, (b) f(z)=1/z e © f(z)=z+1/z. Para isso vamos escrever cada função em termos de z=x+iy, separar em u(x,y) e v(x,y) e resolver u=c e v=c usando conhecimentos de geometria analítica (cônicas e círculos).
Passo 2
Para f(z)=z^2 tomamos z=x+iy e calculamos
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As curvas de nível são obtidas impondo u=c_1 e v=c_2.
Passo 3
A curva u(x,y)=c_1 é dada por
que é um conjunto de hipérbolas alinhadas com os eixos x e y. A curva v(x,y)=c_2 é
o que também forma hipérbolas, mas com eixos rotacionados de 45°.
Passo 4
Para f(z)=1/z escrevemos
daí
As curvas de nível u=c_1 e v=c_2 vêm de resolver essas igualdades.
Passo 5
Impondo u(x,y)=c_1 temos
Completando quadrado em x obtemos um círculo de centro
e raio
. De modo análogo, v(x,y)=c_2 leva a
o que dá um círculo de centro
e raio
.
Passo 6
Para f(z)=z+1/z temos
Impondo v(x,y)=0:
Isso dá duas famílias: ou
(o eixo real) ou
(o círculo unitário).
Resposta
(a) As curvas u
: x2–y2=c_1 são hipérbolas alinhadas aos eixos; v
: 2xy=c_2 (ou xy=c_2/2) são hipérbolas rotacionadas 45°. (b) Para f(z)=1/z, u=c_1 dá círculos de centro (1/(2c_1),0) e raio 1/(2|c_1|); v=c_2 dá círculos de centro (0,−1/(2c_2)) e raio 1/(2|c_2|). © Em f(z)=z+1/z a curva v=0 é y=0 (eixo real) junto com o círculo x2+y2=1.