(Variação dos Parâmetros) Use o método de Variação dos Parâmetros para obter a solução geral das equações e, quando for o caso, obter a solução dos problemas de valores inicial.
y^prime prime+4 y=3 cossec t

Passo 1

O enunciado pede pra gente usar o método de variação dos parâmetros para resolver a equação não‐homogênea y'' + 4y = 3csc t. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos precisar da solução geral da homogênea e depois aplicar variação dos parâmetros para achar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a homogênea associada y'' + 4y = 0. A equação característica é r^2 + 4 = 0, com raízes r=±2i. Logo, a solução geral da homogênea é
yh = C1cos(2t) + C2sin(2t)

Passo 3

Para a variação dos parâmetros, escolhemos as soluções fundamentais y1=cos(2t) e y2=sin(2t). O Wronskiano delas é
W = cos(2t) & sin(2t) -2sin(2t) & 2cos(2t) = 2l(cos^2(2t)+sin^2(2t)r) = 2
A fórmula para a solução particular é
yp = -y1integral y2,g(t)W,dt + y2integral y1,g(t)W,dt,
onde g(t)=3csc t.

Passo 4

Calculamos o primeiro integral:
I1 = integral y2,g(t)W,dt = integral sin(2t)cdot 3csc t2,dt = 32integral 2sin tcos tsin t,dt = 32integral 2cos t,dt =3integral cos t,dt =3sin t

Passo 5

Calculamos o segundo integral:
I2 = integral y1,g(t)W,dt = integral cos(2t)cdot 3csc t2,dt = 32integral cos(2t)sin t,dt
Usando cos(2t)=1-2sin^2 t, temos
cos(2t)sin t = csc t - 2sin t,
então
I2 = 32l(integral csc t,dt -2integral sin t,dtr) = 32l(ln|tan(tfrac t2)| +2cos tr) = 32lnl|tan(tfrac t2)r| +3cos t

Passo 6

Agora montamos
yp = -y1 I1 + y2 I2 = -cos(2t)cdot(3sin t) + sin(2t)l(tfrac32ln|tan(tfrac t2)| +3cos tr)

Passo 7

Para simplificar, note a identidade trigonométrica
sin(2t)cos t - sin tcos(2t) = sin(2t - t) = sin t
Logo,
yp = 32sin(2t)lnl|tan(tfrac t2)r| +3sin t

Resposta

A solução geral é
y(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t) + 32sin(2t)lnl|tantfrac t2r| +3sin t

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