Obtenha duas expansões em Séries de potências de z para a função
g(z)=1z(1+z^2)
e especifique as regiões onde estas expansões são válidas.

Passo 1

O enunciado pede para achar duas séries de potências da função g(z)=1z(1+z^2) e determinar onde cada expansão converge. O conteúdo envolvido é série de potências (Séries de Taylor/Laurent) e regiões de convergência.

Passo 2

Para |z|<1 escrevemos g(z)=1zcdot11+z^2. Como 11+w=sumn=0^infty(-1)^n w^n para |w|<1, tomamos w=z^2 e obtemos
11+z^2=sumn=0^infty(-1)^n z^2n,
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g(z)=1zsumn=0^infty(-1)^n z^2n=sumn=0^infty(-1)^n z^2n-1=z^-1-z+z^3-z^5+cdots
que converge para |z|<1.

Passo 3

Para |z|>1 fatoramos 1+z^2=z^2l(1+1/z^2r) e escrevemos
11+z^2=1z^2cdot11+1/z^2=1z^2sumn=0^infty(-1)^n z^-2n
para |1/z^2|<1, ou seja |z|>1. Então
g(z)=1zcdot1z^2sumn=0^infty(-1)^n z^-2n=sumn=0^infty(-1)^n z^-2n-3=z^-3-z^-5+z^-7-cdots
que converge para |z|>1.

Resposta

As expansões em série de potências são:
Para |z|<1:
g(z)=z^-1-z+z^3-z^5+cdots
Para |z|>1:
g(z)=z^-3-z^-5+z^-7-cdots

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