Considere os conjuntos
A=z in C mid Re(z)=Im(z) e B=z in C mid Im(z) >= 0 e |z|=1
Determine as imagens de A e B pelas funções a seguir.
f(z)=z^2

Passo 1

A questão é sobre mapeamento de conjuntos no plano complexo pela função f(z)=z^2. Precisamos achar f(A) onde A=zin CmidRe(z)=Im(z) e f(B) onde B=zin CmidIm(z)>=0 e |z|=1.

Passo 2

Para achar f(A), note que todo zin A satisfaz Re(z)=Im(z)=x, com xin R. Então podemos escrever
z = x + ix = x(1+i)
Aplicando f(z)=z^2:
f(z) = [x(1+i)]^2 = x^2(1+i)^2 = x^2(1 + 2i + i^2) = x^2(2i) = 2i,x^2
Como x^2>=0, vemos que f(z) é puramente imaginário e não negativo na parte imaginária.

Passo 3

Para achar f(B), parametrize B como o semicírculo superior da circunferência unitária: todo zin B pode ser escrito
z = e^itheta, thetain[0,pi]
Então
f(z) = (e^itheta)^2 = e^2itheta,
onde 2theta percorre todo o intervalo [0,2pi]. Dessa forma obtemos a circunferência completa de raio 1 no plano complexo.

Resposta

f(A) = {2i,x^2:,x\in\mathbb R} = {i y:,y\ge0}, ou seja, o semieixo imaginário não negativo;
f(B) = {z\in\mathbb C:,|z|=1}, isto é, a circunferência unitária completa.

Exercícios relacionados