Esboce as curvas parametrizadas.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para esboçarmos a curva parametrizada dada por $ c(t) = (\sin t, -t) $. Isso está dentro da matéria de cálculo vetorial, especificamente no estudo de curvas parametrizadas no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as curvas parametrizadas e como representá-las graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ c(t) = (\sin t, -t) $. Isso quer dizer que para cada valor de $ t $, a curva terá um ponto com coordenadas $ x = \sin t $ e $ y = -t $. Então, basicamente, conforme $ t $ varia, vamos traçando pontos no plano XY.
Passo 3
Vamos analisar cada componente:
- A componente $ x = \sin t $ nos diz que o valor de $ x $ oscila entre -1 e 1, já que o seno sempre está nesse intervalo.
- A componente $ y = -t $ indica que, conforme $ t $ aumenta, $ y $ diminui linearmente. Ou seja, a curva vai descendo no eixo Y à medida que $ t $ cresce.
Passo 4
Para esboçar a curva, podemos calcular alguns pontos para diferentes valores de $ t $:
- Para $ t = 0 $: $ x = \sin 0 = 0 $, $ y = -0 = 0 $ → Ponto (0, 0)
- Para $ t = \frac{\pi}{2} $: $ x = \sin \frac{\pi}{2} = 1 $, $ y = -\frac{\pi}{2} $ → Ponto (1, -1.57)
- Para $ t = \pi $: $ x = \sin \pi = 0 $, $ y = -\pi $ → Ponto (0, -3.14)
- Para $ t = \frac{3\pi}{2} $: $ x = \sin \frac{3\pi}{2} = -1 $, $ y = -\frac{3\pi}{2} $ → Ponto (-1, -4.71)
- Para $ t = 2\pi $: $ x = \sin 2\pi = 0 $, $ y = -2\pi $ → Ponto (0, -6.28)
Passo 5
Com esses pontos, podemos observar que a curva se move para baixo no eixo Y, enquanto oscila entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $. Isso cria uma espécie de “serpente” que desce verticalmente, com oscilações sinusoidais.
Resposta
A curva parametrizada $ c(t) = (\sin t, -t) $ é uma hélice planar que desce verticalmente no eixo Y enquanto oscila sinusoidalmente no eixo X entre -1 e 1. Ao esboçá-la, vemos uma linha ondulada que se move para baixo à medida que $ t $ aumenta.