Esboce as curvas parametrizadas pelas funções vetoriais dadas e determine as equações cartesianas dessas curvas:
\vec{\sigma}(t)=\left(-1+t^{2}, 2-t^{2}\right), \quad t \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial \vec{\sigma}(t)=\big(-1+t^{2},\,2-t^{2}\big) com t\in\mathbb{R} e pede duas coisas: (a) esboçar a curva parametrizada por \vec{\sigma} e (b) determinar a(s) equação(ões) cartesiana(s) dessa curva.
Informações fornecidas explicitamente: as componentes da curva em função do parâmetro t são
x(t)=-1+t^{2},\qquad y(t)=2-t^{2},
com t variando por todos os reais. A partir disso devemos eliminar o parâmetro e analisar quais pontos da reta obtida são efetivamente ocupados pela parametrização.

Passo 2

Primeiro passo técnico (e a ideia central para transformar paramétrico em cartesiano): eliminar o parâmetro t combinando as duas equações das coordenadas. Escrevemos as duas igualdades e observamos termos iguais:
x = -1 + t^{2},
y = 2 - t^{2}.
Repare que ambos os lados contêm t^{2}, então somamos as duas expressões para eliminar t^{2}.

Passo 3

Somando as igualdades do passo anterior obtemos:
x + y = (-1 + t^{2}) + (2 - t^{2}).
No lado direito t^{2} cancela, sobrando
x + y = 1.
Essa é a equação cartesiana obtida ao eliminar o parâmetro: trata-se da equação de uma reta no plano.

Passo 4

Agora precisamos entender quais pontos dessa reta são realmente percorridos pela parametrização (nem sempre a eliminação dá toda a reta; às vezes dá só uma parte). Voltemos às expressões individuais para relacionar t^{2} com x e y:
t^{2} = x + 1 \quad\text{(da primeira equação)},çã
t^{2} = 2 - y \quad\text{(da segunda equação)}.çã
Ambas exprimem o mesmo t^{2}, então exigimos x+1 = 2-y que é equivalente a x+y=1 (já obtido). Além disso, como t^{2}\ge 0 para todo t\in\mathbb{R}, fica a restrição
x+1 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \ge -1.
Usando y = 1 - x também obtemos y \le 2 (porque y=2-t^{2} e t^{2}\ge0). Portanto a parametrização não cobre a reta inteira x+y=1: ela cobre apenas os pontos dessa reta com x\ge -1 (equivalentemente y\le 2).

Passo 5

Vamos identificar pontos concretos para esboçar e entender a orientação da curva (isto ajuda muito no desenho mental e no exame). Substituindo alguns valores de t:
t=0 \Rightarrow \vec{\sigma}(0)=(-1,\,2),
t=1 \Rightarrow \vec{\sigma}(1)=(0,\,1),
t=2 \Rightarrow \vec{\sigma}(2)=(3,\,-2).
Note que \vec{\sigma}(-1)=\vec{\sigma}(1) e \vec{\sigma}(-2)=\vec{\sigma}(2) porque as componentes dependem de t^{2}. Ou seja, t e -t dão o mesmo ponto: a parametrização percorre cada ponto duas vezes (exceto t=0), não sendo injetora. À medida que |t| aumenta a coordenada x=-1+t^{2} aumenta e y=2-t^{2} diminui, então a curva parte do ponto (-1,2) (quando t=0) e vai seguindo a reta x+y=1 no sentido de x crescendo e y decrescendo até o infinito. Portanto, geometricamente, é uma semi-reta (um raio) na reta x+y=1 com origem em (-1,2) e indo para x\to+\infty.
Dicas para esboçar: desenhe a reta x+y=1, marque o ponto (-1,2) e marque também (0,1) e (3,-2) como pontos por onde passa. Trace uma seta saindo de (-1,2) ao longo da reta na direção de x crescente (e y decrescente) — essa seta representa a imagem da parametrização. Lembre-se que tanto t>0 quanto t<0 produzem os mesmos pontos (o traçado fica o mesmo, apenas parametrizado duas vezes).

Resposta

Equação cartesiana: \;x+y=1.
Curva efetivamente percorrida: a semi-reta \{(x,y)\mid x+y=1,\;x\ge -1\} (ou seja, a reta x+y=1 a partir do ponto (-1,2) em diante).

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