Esboce as curvas parametrizadas pelas funções vetoriais dadas e determine as equações cartesianas dessas curvas:
.
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
com
e pede duas coisas: (a) esboçar a curva parametrizada por
e (b) determinar a(s) equação(ões) cartesiana(s) dessa curva.
Informações fornecidas explicitamente: as componentes da curva em função do parâmetro são
Informações fornecidas explicitamente: as componentes da curva em função do parâmetro
com
variando por todos os reais. A partir disso devemos eliminar o parâmetro e analisar quais pontos da reta obtida são efetivamente ocupados pela parametrização.
Passo 2
Primeiro passo técnico (e a ideia central para transformar paramétrico em cartesiano): eliminar o parâmetro
combinando as duas equações das coordenadas. Escrevemos as duas igualdades e observamos termos iguais:
Repare que ambos os lados contêm
, então somamos as duas expressões para eliminar
.
Passo 3
Somando as igualdades do passo anterior obtemos:
No lado direito
cancela, sobrando
Essa é a equação cartesiana obtida ao eliminar o parâmetro: trata-se da equação de uma reta no plano.
Passo 4
Agora precisamos entender quais pontos dessa reta são realmente percorridos pela parametrização (nem sempre a eliminação dá toda a reta; às vezes dá só uma parte). Voltemos às expressões individuais para relacionar
com
e
:
Ambas exprimem o mesmo
, então exigimos
que é equivalente a
(já obtido). Além disso, como
para todo
, fica a restrição
Usando
também obtemos
(porque
e
). Portanto a parametrização não cobre a reta inteira
: ela cobre apenas os pontos dessa reta com
(equivalentemente
).
Passo 5
Vamos identificar pontos concretos para esboçar e entender a orientação da curva (isto ajuda muito no desenho mental e no exame). Substituindo alguns valores de
:
Note que
e
porque as componentes dependem de
. Ou seja,
e
dão o mesmo ponto: a parametrização percorre cada ponto duas vezes (exceto
), não sendo injetora. À medida que
aumenta a coordenada
aumenta e
diminui, então a curva parte do ponto
(quando
) e vai seguindo a reta
no sentido de
crescendo e
decrescendo até o infinito. Portanto, geometricamente, é uma semi-reta (um raio) na reta
com origem em
e indo para
.
Dicas para esboçar: desenhe a reta
, marque o ponto
e marque também
e
como pontos por onde passa. Trace uma seta saindo de
ao longo da reta na direção de
crescente (e
decrescente) — essa seta representa a imagem da parametrização. Lembre-se que tanto
quanto
produzem os mesmos pontos (o traçado fica o mesmo, apenas parametrizado duas vezes).
Resposta
Equação cartesiana:
Curva efetivamente percorrida: a semi-reta (ou seja, a reta
a partir do ponto
em diante).
Curva efetivamente percorrida: a semi-reta