( 2,5 pontos) Encontre uma equação para a reta que é paralela a reta
e que passe no ponto (5,7). Trace os gráficos de ambas as retas.
Passo 1
O enunciado dá a reta
e pede duas coisas: (1) encontrar uma equação para a reta que seja paralela a
e que passe pelo ponto
; (2) traçar (desenhar) os gráficos das duas retas. Informações relevantes fornecidas: a equação da primeira reta é
e o ponto pelo qual a nova reta deve passar é
.
Passo 2
Entendendo o que é necessário (aulas rápidas e diretas).
- Uma reta na forma inclinação-intercepto é escrita como
, onde: -
é a inclinação (ou coeficiente angular) — diz quanto a reta sobe (ou desce) quando aumentamos de 1; é o “rise/run”. -
é o coeficiente linear (intercepto em ) — o valor de quando .
-
- Olhando para
vemos que: - a inclinação é
(porque o coeficiente de é 2), - o intercepto em
é (logo passa por ).
- a inclinação é
- Conceito importante sobre retas paralelas: duas retas são paralelas se, e somente se, têm a mesma inclinação
. Então a reta que queremos terá também.
Passo 3
Montando a equação da reta paralela.
- Como a reta procurada tem inclinação
, sua equação geral será , onde ainda é desconhecido. - Como essa reta passa por
, substituímos e para achar :
- Portanto a equação fica
.
Passo 4
Verificação usando a forma ponto-inclinação (método alternativo e útil na prova).
- A forma ponto-inclinação é
onde
é um ponto conhecido e
é a inclinação.
- Usando
e :
Expandindo:
o mesmo resultado — bom sinal!
Passo 5
Como traçar os gráficos das duas retas (passo a passo que você pode fazer no papel ou na prova).
- Para desenhar uma reta é suficiente marcar dois (ou três) pontos e ligar com uma régua.
- Reta 1:
. - Intercepto em
: (peguei isso da equação). - Usando inclinação
(subir 2 quando aumenta 1): outro ponto é . Mais um: . - Pontos para plotar:
.
- Intercepto em
- Reta 2 (a que encontramos):
. - Intercepto em
: . - Já temos o ponto dado
. - Usando a inclinação: a partir de
, se aumenta 1, aumenta 2, então outro ponto é . - Pontos para plotar:
.
- Intercepto em
- Observação visual e rápida: como ambas têm a mesma inclinação
e interceptos diferentes ( e ), elas são paralelas e não se cruzam.
Passo 6
Instruções práticas para desenhar no papel:
- Desenhe os eixos
e e marque uma escala (por exemplo, cada quadradinho = 1). - Marque os pontos indicados de cada reta.
- Com régua, una os pontos de cada conjunto para formar cada reta. Use uma cor diferente para cada reta se quiser destacar.
- Verifique que as duas retas têm a mesma inclinação (mesma inclinação = paralelas).
Resposta
Gráficos: reta