( 2,5 pontos) Encontre uma equação para a reta que é paralela a reta y=2 x+3 e que passe no ponto (5,7). Trace os gráficos de ambas as retas.

Passo 1

O enunciado dá a reta y=2x+3 e pede duas coisas: (1) encontrar uma equação para a reta que seja paralela a y=2x+3 e que passe pelo ponto (5,7); (2) traçar (desenhar) os gráficos das duas retas. Informações relevantes fornecidas: a equação da primeira reta é y=2x+3 e o ponto pelo qual a nova reta deve passar é (5,7).

Passo 2

Entendendo o que é necessário (aulas rápidas e diretas).
  • Uma reta na forma inclinação-intercepto é escrita como \displaystyle y=mx+b, onde:
    • \displaystyle m é a inclinação (ou coeficiente angular) — diz quanto a reta sobe (ou desce) quando aumentamos x de 1; é o “rise/run”.
    • \displaystyle b é o coeficiente linear (intercepto em y) — o valor de y quando x=0.
  • Olhando para \displaystyle y=2x+3 vemos que:
    • a inclinação é \displaystyle m=2 (porque o coeficiente de x é 2),
    • o intercepto em y é \displaystyle b=3 (logo passa por (0,3)).
  • Conceito importante sobre retas paralelas: duas retas são paralelas se, e somente se, têm a mesma inclinação m. Então a reta que queremos terá \displaystyle m=2 também.

Passo 3

Montando a equação da reta paralela.
  • Como a reta procurada tem inclinação \displaystyle m=2, sua equação geral será \displaystyle y=2x+b, onde \displaystyle b ainda é desconhecido.
  • Como essa reta passa por (5,7), substituímos x=5 e y=7 para achar \displaystyle b:
7 = 2\cdot 5 + b
7 = 10 + b
b = 7-10 = -3.
  • Portanto a equação fica \displaystyle y=2x-3.

Passo 4

Verificação usando a forma ponto-inclinação (método alternativo e útil na prova).
  • A forma ponto-inclinação é
y-y_0=m(x-x_0),
onde (x_0,y_0) é um ponto conhecido e m é a inclinação.
  • Usando (x_0,y_0)=(5,7) e m=2:
y-7 = 2(x-5).
Expandindo:
y-7 = 2x-10 \quad\Rightarrow\quad y=2x-10+7 = 2x-3,
o mesmo resultado — bom sinal!

Passo 5

Como traçar os gráficos das duas retas (passo a passo que você pode fazer no papel ou na prova).
  • Para desenhar uma reta é suficiente marcar dois (ou três) pontos e ligar com uma régua.
  • Reta 1: \displaystyle y=2x+3.
    • Intercepto em y: (0,3) (peguei isso da equação).
    • Usando inclinação 2 (subir 2 quando x aumenta 1): outro ponto é (1,5). Mais um: (2,7).
    • Pontos para plotar: \displaystyle (0,3),\\ (1,5),\\ (2,7).
  • Reta 2 (a que encontramos): \displaystyle y=2x-3.
    • Intercepto em y: (0,-3).
    • Já temos o ponto dado (5,7).
    • Usando a inclinação: a partir de (5,7), se x aumenta 1, y aumenta 2, então outro ponto é (6,9).
    • Pontos para plotar: \displaystyle (0,-3),\\ (5,7),\\ (6,9).
  • Observação visual e rápida: como ambas têm a mesma inclinação m=2 e interceptos diferentes ( 3 e -3), elas são paralelas e não se cruzam.

Passo 6

Instruções práticas para desenhar no papel:
  1. Desenhe os eixos x e y e marque uma escala (por exemplo, cada quadradinho = 1).
  2. Marque os pontos indicados de cada reta.
  3. Com régua, una os pontos de cada conjunto para formar cada reta. Use uma cor diferente para cada reta se quiser destacar.
  4. Verifique que as duas retas têm a mesma inclinação (mesma inclinação = paralelas).

Resposta

\displaystyle y=2x-3
Gráficos: reta \displaystyle y=2x+3 — pontos \displaystyle (0,3),\\ (1,5),\\ (2,7); reta \displaystyle y=2x-3 — pontos \displaystyle (0,-3),\\ (5,7),\\ (6,9)

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