Esboce as curvas parametrizadas pelas funções vetoriais dadas e determine as equações cartesianas dessas curvas:
.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e pede duas coisas: (i) esboçar a(s) curva(s) parametrizada(s) por
e (ii) determinar a(s) equação(ões) cartesiana(s) correspondente(s).
Informações relevantes fornecidas: o parâmetro varia em
; as coordenadas são
e
.
Informações relevantes fornecidas: o parâmetro
Passo 2
Vou começar por mostrar uma identidade trigonométrica importante que vamos usar. Partimos da identidade pitagórica básica
Dividindo ambos os lados por
(válido quando
, e no nosso intervalo aberto
temos
, logo é válido) obtemos
Essa é a identidade que relaciona
e
. Aqui
e
.
Passo 3
Agora usamos as expressões dadas pela parametrização. Chamando as coordenadas por
, temos
Da identidade
substituímos
e
. Assim:
Passo 4
Faço a álgebra para deixar em forma padrão:
Essa é a equação cartesiana da curva. Posso também escrever em forma padrão dividindo por
:
o que facilita identificar parâmetros geométricos.
Passo 5
Explico o que essa equação significa geometricamente (aulas rápidas e práticas): a forma
com
e
é a equação de uma hipérbole com eixo transverso ao longo do eixo
. No nosso caso temos
(logo
) e
(logo
). Os vértices da hipérbole completa seriam
.
Passo 6
Agora uso a informação do domínio do parâmetro
para indicar qual ramo da hipérbole é realmente percorrido pela parametrização. No intervalo
temos
, então
. Assim
. Portanto a parametrização só atinge a rama com
, isto é, o ramo direito da hipérbole. Além disso:
- em
temos e , então o ponto pertence à curva (é o vértice direito); - quando
temos e , ou seja e .
Logo o parâmetro percorre o ramo direito da hipérbole, come .
Passo 7
Determino as assíntotas da hipérbole (útil para o esboço): partindo de
as assíntotas vêm da equação homogênea
Reescrevendo em função de
, temos as linhas
que são as assíntotas da hipérbole. Para o ramo direito, à medida que
cresce, os pontos da curva ficam próximos das linhas
.
Passo 8
Esboço mental / instruções para desenhar (como você faria na prova sem plotador): marque o centro em
, desenhe as assíntotas
e
passando pela origem. No ramo direito coloque o vértice em
e desenhe a curva aproximando-se das assíntotas quando
aumenta. A curva é simétrica em relação ao eixo
(porque a equação tem termo
) e cobre todos os
para
. A orientação do parâmetro é: conforme
aumenta de
para
, o ponto percorre o ramo direito da hipérbole subindo em
de
até
, passando por
quando
.
Resposta
Ramo direito da hipérbole