Esboce as curvas parametrizadas pelas funções vetoriais dadas e determine as equações cartesianas dessas curvas:
\vec{\sigma}(t)=(\operatorname{sec} t, 2 \tan t), \quad t \in(-\pi / 2, \pi / 2).

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\vec{\sigma}(t) = (\operatorname{sec} t,\; 2\tan t),\qquad t\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right),
e pede duas coisas: (i) esboçar a(s) curva(s) parametrizada(s) por \vec{\sigma} e (ii) determinar a(s) equação(ões) cartesiana(s) correspondente(s).
Informações relevantes fornecidas: o parâmetro t varia em \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right); as coordenadas são x=\operatorname{sec} t e y=2\tan t.

Passo 2

Vou começar por mostrar uma identidade trigonométrica importante que vamos usar. Partimos da identidade pitagórica básica
\sin^2 t + \cos^2 t = 1.
Dividindo ambos os lados por \cos^2 t (válido quando \cos t\neq0, e no nosso intervalo aberto \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) temos \cos t>0, logo é válido) obtemos
\tan^2 t + 1 = \operatorname{sec}^2 t.
Essa é a identidade que relaciona \tan t e \operatorname{sec} t. Aqui \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t} e \operatorname{sec} t=\dfrac{1}{\cos t}.

Passo 3

Agora usamos as expressões dadas pela parametrização. Chamando as coordenadas por (x,y), temos
x=\operatorname{sec} t,\qquad y=2\tan t.
Da identidade \tan^2 t + 1 = \operatorname{sec}^2 t substituímos \tan t = \dfrac{y}{2} e \operatorname{sec} t = x. Assim:
\left(\dfrac{y}{2}\right)^2 + 1 = x^2.

Passo 4

Faço a álgebra para deixar em forma padrão:
\dfrac{y^2}{4} + 1 = x^2
\Rightarrow x^2 - \dfrac{y^2}{4} = 1.
Essa é a equação cartesiana da curva. Posso também escrever em forma padrão dividindo por 1:
\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{4} = 1,
o que facilita identificar parâmetros geométricos.

Passo 5

Explico o que essa equação significa geometricamente (aulas rápidas e práticas): a forma
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
com a^2>0 e b^2>0 é a equação de uma hipérbole com eixo transverso ao longo do eixo x. No nosso caso temos a^2=1 (logo a=1) e b^2=4 (logo b=2). Os vértices da hipérbole completa seriam (\pm a,0)=(\pm1,0).

Passo 6

Agora uso a informação do domínio do parâmetro t para indicar qual ramo da hipérbole é realmente percorrido pela parametrização. No intervalo \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) temos \cos t>0, então \operatorname{sec} t>0. Assim x=\operatorname{sec} t>0. Portanto a parametrização só atinge a rama com x>0, isto é, o ramo direito da hipérbole. Além disso:
  • em t=0 temos x=\operatorname{sec} 0=1 e y=2\tan 0=0, então o ponto (1,0) pertence à curva (é o vértice direito);
  • quando t\to\pm\tfrac{\pi}{2} temos \tan t\to\pm\infty e \operatorname{sec} t\to+\infty, ou seja y\to\pm\infty e x\to+\infty.
    Logo o parâmetro percorre o ramo direito da hipérbole, com x\ge 1 e y\in\mathbb{R}.

Passo 7

Determino as assíntotas da hipérbole (útil para o esboço): partindo de
x^2 - \frac{y^2}{4} = 1,
as assíntotas vêm da equação homogênea
x^2 - \frac{y^2}{4} = 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 = \frac{y^2}{4} \quad\Rightarrow\quad x = \pm \frac{y}{2}.
Reescrevendo em função de y, temos as linhas
y = \pm 2x,
que são as assíntotas da hipérbole. Para o ramo direito, à medida que |y| cresce, os pontos da curva ficam próximos das linhas y=\pm 2x.

Passo 8

Esboço mental / instruções para desenhar (como você faria na prova sem plotador): marque o centro em (0,0), desenhe as assíntotas y=2x e y=-2x passando pela origem. No ramo direito coloque o vértice em (1,0) e desenhe a curva aproximando-se das assíntotas quando |y| aumenta. A curva é simétrica em relação ao eixo x (porque a equação tem termo y^2) e cobre todos os y\in\mathbb{R} para x\ge1. A orientação do parâmetro é: conforme t aumenta de -\tfrac{\pi}{2} para \tfrac{\pi}{2}, o ponto percorre o ramo direito da hipérbole subindo em y de -\infty até +\infty, passando por (1,0) quando t=0.

Resposta

x^2-\dfrac{y^2}{4}=1 (equação cartesiana).
Ramo direito da hipérbole \dfrac{x^2}{1}-\dfrac{y^2}{4}=1, com x\ge 1, vértice em (1,0) e assíntotas y=\pm 2x.

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