( 2,5 pontos) Encontre uma equação da reta que é perpendicular a reta \mathrm{y}=2 \mathrm{x}-4 e que passe no ponto ( 6,2 ). Trace os gráficos de ambas as retas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informação 1: a reta dada é y=2x-4.
  • Informação 2: o ponto por onde a nova reta deve passar é (6,2).
  • Pergunta A: encontrar uma equação da reta que seja perpendicular à reta y=2x-4 e passe em (6,2).
  • Pergunta B: traçar (representar) os gráficos de ambas as retas.

Passo 2

Entendendo o que significa a inclinação (coeficiente angular) de uma reta:
Qualquer reta no formato y=mx+b tem como coeficiente angular (inclinação) o número m. Esse m diz quanto a reta sobe (ou desce) quando avançamos uma unidade em x. Por exemplo, se m=2 isso significa subir 2 unidades em y quando x aumenta 1 unidade (subida/avanço = 2/1).
No caso da reta dada y=2x-4 podemos identificar diretamente o coeficiente angular:
m_{\text{dada}}=2.

Passo 3

Propriedade das retas perpendiculares (a parte conceitual que precisamos):
Se duas retas são perpendiculares, os coeficientes angulares m_1 e m_2 satisfazem
m_1\cdot m_2=-1.
Outra forma de dizer isso é: o coeficiente angular da reta perpendicular é o negativo do inverso (recíproco) do coeficiente da primeira reta, isto é m_{\perp}=-\dfrac{1}{m}. Isso vem da geometria da inclinação (produto das tangentes dos ângulos resultando em -1). Aplicando ao nosso caso:
m_{\perp}=-\frac{1}{m_{\text{dada}}}=-\frac{1}{2}.

Passo 4

Agora usamos a forma ponto-inclinação (também chamada forma ponto-declive) para obter a equação da reta que passa por um ponto conhecido (x_0,y_0) e tem coeficiente angular m. A fórmula é
y-y_0 = m(x-x_0),
onde x_0 e y_0 são as coordenadas do ponto dado e m é a inclinação. Aqui temos x_0=6, y_0=2 e m=-\tfrac{1}{2}. Substituindo na fórmula:
y-2 = -\frac{1}{2}\bigl(x-6\bigr).
Agora vamos desenvolver essa igualdade passo a passo para chegar ao formato y=mx+b. Primeiro distribuo o -\tfrac{1}{2}:
y-2 = -\frac{1}{2}x +3.
Em seguida somo 2 em ambos os lados para isolar y:
y = -\frac{1}{2}x +3 +2,
y = -\frac{1}{2}x +5.
Portanto uma forma conveniente da equação é \displaystyle y=-\frac{1}{2}x+5. Se preferir a forma inteira (forma padrão), multiplico por 2 e reorganizo:
2y = -x +10 \quad\Longrightarrow\quad x + 2y = 10.

Passo 5

Verificação rápida de que a reta encontrada realmente passa em (6,2): substituo x=6 na equação \displaystyle y=-\frac{1}{2}x+5:
y=-\frac{1}{2}\cdot 6 +5 = -3 +5 = 2.
Certo — obteve-se y=2, logo o ponto (6,2) pertence à reta encontrada. Também podemos checar a perpendicularidade: 2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=-1, portanto são perpendiculares.

Passo 6

Como traçar (desenhar) ambas as retas no plano cartesiano — instruções práticas e pontos para marcar:
  • Para a reta dada \displaystyle y=2x-4: calcule interceptos fáceis.
    • Intercepto em y (quando x=0): \displaystyle y(0)=2\cdot 0-4=-4. Então marque (0,-4).
    • Intercepto em x (quando y=0): 0=2x-4\Rightarrow x=2. Então marque (2,0).
    • Alternativamente, use o coeficiente angular m=2 como “subir 2 para cada 1 à direita”: a partir de (0,-4) vá para (1,-2), depois (2,0). Una os pontos com uma régua e estenda a linha.
  • Para a reta perpendicular \displaystyle y=-\frac{1}{2}x+5: também calcule interceptos.
    • Intercepto em y (quando x=0): \displaystyle y(0)=5. Marque (0,5).
    • Intercepto em x (quando y=0): 0=-\tfrac{1}{2}x+5\Rightarrow x=10. Marque (10,0).
    • Use o coeficiente angular m=-\tfrac{1}{2} como “descer 1 para cada 2 à direita”: a partir de (0,5) vá para (2,4), depois (4,3), etc. Una os pontos com uma régua e estenda.
  • No desenho você verá as duas retas cruzando-se em um ponto (a interseção é \bigl(\tfrac{18}{5},\tfrac{16}{5}\bigr), se quiser calcular). Confirme visualmente que elas se cruzam formando um ângulo de 90^\circ (perpendicularidade).
Vai dar certo — marque os pontos indicados e trace as retas com régua; se quiser um desenho preciso use papel quadriculado.

Resposta

y=-\dfrac{1}{2}x+5
Para traçar: y=2x-4 tem pontos (0,-4) e (2,0); y=-\dfrac{1}{2}x+5 tem pontos (0,5) e (10,0).

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