( 2,5 pontos) Encontre uma equação da reta que é perpendicular a reta
e que passe no ponto ( 6,2 ). Trace os gráficos de ambas as retas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- Informação 1: a reta dada é
. - Informação 2: o ponto por onde a nova reta deve passar é
. - Pergunta A: encontrar uma equação da reta que seja perpendicular à reta
e passe em . - Pergunta B: traçar (representar) os gráficos de ambas as retas.
Passo 2
Entendendo o que significa a inclinação (coeficiente angular) de uma reta:
Qualquer reta no formato tem como coeficiente angular (inclinação) o número
. Esse
diz quanto a reta sobe (ou desce) quando avançamos uma unidade em
. Por exemplo, se
isso significa subir 2 unidades em
quando
aumenta 1 unidade (subida/avanço =
).
No caso da reta dada podemos identificar diretamente o coeficiente angular:
Qualquer reta no formato
No caso da reta dada
Passo 3
Propriedade das retas perpendiculares (a parte conceitual que precisamos):
Se duas retas são perpendiculares, os coeficientes angulares e
satisfazem
Se duas retas são perpendiculares, os coeficientes angulares
Outra forma de dizer isso é: o coeficiente angular da reta perpendicular é o negativo do inverso (recíproco) do coeficiente da primeira reta, isto é
. Isso vem da geometria da inclinação (produto das tangentes dos ângulos resultando em
). Aplicando ao nosso caso:
Passo 4
Agora usamos a forma ponto-inclinação (também chamada forma ponto-declive) para obter a equação da reta que passa por um ponto conhecido
e tem coeficiente angular
. A fórmula é
onde
e
são as coordenadas do ponto dado e
é a inclinação. Aqui temos
,
e
. Substituindo na fórmula:
Agora vamos desenvolver essa igualdade passo a passo para chegar ao formato
. Primeiro distribuo o
:
Em seguida somo
em ambos os lados para isolar
:
Portanto uma forma conveniente da equação é
. Se preferir a forma inteira (forma padrão), multiplico por
e reorganizo:
Passo 5
Verificação rápida de que a reta encontrada realmente passa em
: substituo
na equação
:
Certo — obteve-se
, logo o ponto
pertence à reta encontrada. Também podemos checar a perpendicularidade:
, portanto são perpendiculares.
Passo 6
Como traçar (desenhar) ambas as retas no plano cartesiano — instruções práticas e pontos para marcar:
- Para a reta dada
: calcule interceptos fáceis. - Intercepto em
(quando ): . Então marque . - Intercepto em
(quando ): . Então marque . - Alternativamente, use o coeficiente angular
como “subir 2 para cada 1 à direita”: a partir de vá para , depois . Una os pontos com uma régua e estenda a linha.
- Intercepto em
- Para a reta perpendicular
: também calcule interceptos. - Intercepto em
(quando ): . Marque . - Intercepto em
(quando ): . Marque . - Use o coeficiente angular
como “descer 1 para cada 2 à direita”: a partir de vá para , depois , etc. Una os pontos com uma régua e estenda.
- Intercepto em
- No desenho você verá as duas retas cruzando-se em um ponto (a interseção é
, se quiser calcular). Confirme visualmente que elas se cruzam formando um ângulo de (perpendicularidade).
Vai dar certo — marque os pontos indicados e trace as retas com régua; se quiser um desenho preciso use papel quadriculado.
Resposta
Para traçar: