Seja C a curva plana parametrizada por \vec{\sigma}(t)=(2 \cos t, 1+2 \sin t). Determine a equação da reta tangente à curva no ponto P_{0}=(\sqrt{3}, 2).

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada \vec{\sigma}(t)=(2\cos t,\;1+2\sin t) e pede a equação da reta tangente à curva no ponto P_{0}=(\sqrt{3},2).
Informações relevantes que temos:
  • a parametrização \vec{\sigma}(t);
  • o ponto P_{0}=(\sqrt{3},2) onde queremos a reta tangente.
    Pergunta explícita: determinar a equação da reta tangente à curva no ponto P_{0}.

Passo 2

Primeiro precisamos achar o parâmetro t_{0} tal que \vec{\sigma}(t_{0})=P_{0}. Ou seja, resolver o sistema
2\cos t_{0}=\sqrt{3},\qquad 1+2\sin t_{0}=2.
Da segunda equação temos
2\sin t_{0}=1\implies \sin t_{0}=\tfrac{1}{2}.
Da primeira:
\cos t_{0}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Sabemos os valores trigonométricos padrão: \sin\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{1}{2} e \cos\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Portanto as duas igualdades são satisfeitas por
t_{0}=\tfrac{\pi}{6}\quad(\text{mod }2\pi).
Tomamos t_{0}=\tfrac{\pi}{6}.

Passo 3

A reta tangente é dirigida pelo vetor tangente da curva no instante t_{0}, que é a derivada da parametrização. Derivando componte a componente:
\vec{\sigma}\,'(t)=\bigl(-2\sin t,\;2\cos t\bigr).
Explico rapidamente: derivar uma curva parametrizada significa derivar cada coordenada em relação a t; o vetor resultante aponta na direção em que a curva está se movendo — é tangente.

Passo 4

Avaliamo-s \vec{\sigma}\,'(t) em t_{0}=\tfrac{\pi}{6}. Como \sin\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{1}{2} e \cos\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, obtemos
\vec{\sigma}\,'\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\bigl(-2\cdot\tfrac{1}{2},\;2\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)=(-1,\;\sqrt{3}).
Esse vetor (-1,\sqrt{3}) é um vetor diretor da reta tangente. A inclinação (coeficiente angular) da reta é
m=\frac{\text{componente }y}{\text{componente }x}=\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}.
Observação alternativa (útil na prova): também podemos obter m como \dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{2\cos t}{-2\sin t}=-\cot t e avaliar em t=\tfrac{\pi}{6} para obter -\sqrt{3}.

Passo 5

Agora escrevemos a equação da reta tangente em forma ponto-inclinação usando P_{0}=(\sqrt{3},2) e m=-\sqrt{3}:
y-2=-\sqrt{3}\,(x-\sqrt{3}).
Expandindo para forma explícita (forma \,y=mx+b):
y-2=-\sqrt{3}\,x+3\quad\Rightarrow\quad y=-\sqrt{3}\,x+5.
Fiz as contas passo a passo: -\sqrt{3}\times(-\sqrt{3})=+3, então somando 2 5.

Passo 6

Vamos checar rapidamente: plugando x=\sqrt{3} na reta y=-\sqrt{3}x+5 obtemos y=-\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}+5=-3+5=2, que é exatamente a ordenada do ponto P_{0}. Tudo consistente.

Resposta

y=-\sqrt{3}\,x+5

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