Seja
a curva plana parametrizada por
. Determine a equação da reta tangente à curva no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e pede a equação da reta tangente à curva no ponto
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- a parametrização
; - o ponto
onde queremos a reta tangente.
Pergunta explícita: determinar a equação da reta tangente à curva no ponto.
Passo 2
Primeiro precisamos achar o parâmetro
tal que
. Ou seja, resolver o sistema
Da segunda equação temos
Da primeira:
Sabemos os valores trigonométricos padrão:
e
. Portanto as duas igualdades são satisfeitas por
Tomamos
.
Passo 3
A reta tangente é dirigida pelo vetor tangente da curva no instante
, que é a derivada da parametrização. Derivando componte a componente:
Explico rapidamente: derivar uma curva parametrizada significa derivar cada coordenada em relação a
; o vetor resultante aponta na direção em que a curva está se movendo — é tangente.
Passo 4
Avaliamo-s
em
. Como
e
, obtemos
Esse vetor
é um vetor diretor da reta tangente. A inclinação (coeficiente angular) da reta é
Observação alternativa (útil na prova): também podemos obter
como
e avaliar em
para obter
.
Passo 5
Agora escrevemos a equação da reta tangente em forma ponto-inclinação usando
e
:
Expandindo para forma explícita (forma
):
Fiz as contas passo a passo:
, então somando
dá
.
Passo 6
Vamos checar rapidamente: plugando
na reta
obtemos
, que é exatamente a ordenada do ponto
. Tudo consistente.