Esboce dentro de uma célula unitária cúbica os seguintes planos:
a. [0 \overline{11}]

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos, dentro de uma célula unitária cúbica, o plano de índices de Miller (0\;\overline{1}\;1). Esse conteúdo faz parte de reticularização cristalina: usamos Miller–Bravais para encontrar como o plano intercepta os eixos da rede cúbica.

Passo 2

Em cúbico, o plano (h\,k\,l) intercepta os eixos cristalográficos em
x=\frac{a}{h},\quad y=\frac{a}{k},\quad z=\frac{a}{l},
onde a é o parâmetro de rede. Para (0\;\overline{1}\;1) temos h=0, k=-1, l=1. Logo:
x=\frac{a}{0}=\infty, \quad y=\frac{a}{-1}=-a, \quad z=\frac{a}{1}=a.
Ou seja, o plano é paralelo ao eixo x (intercepto infinito) cruza o eixo y em -a (fora da célula unitária padrão) e o eixo z em +a.

Passo 3

Para escrever a equação cartesiana do plano em coordenadas reduzidas (x,y,z) sobre 0\le x,y,z\le a, usamos
\frac{h\,x}{a}+\frac{k\,y}{a}+\frac{l\,z}{a}=1 \quad\Longrightarrow\quad 0\cdot\frac{x}{a}+(-1)\frac{y}{a}+1\frac{z}{a}=1,
que simplifica para
-y+z= a \quad\Longleftrightarrow\quad z = a + y.

Passo 4

Dentro da célula unitária (0\le x,y,z\le a) procuramos pontos de interseção substituindo faces x=0,1, y=0,1, z=0,1.
  • Em z=1 (face superior), a equação dá -y+1=1\implies y=0. Logo todo ponto (x,0,1) com 0\le x\le1 fica no plano.
  • Em y=0 (face frontal), já vimos que cruza em z=1.
  • Nas outras faces z=0 ou y=1 obtém-se y=-1 ou z=2, fora da faixa [0,1].
Portanto, a única interseção do plano com a célula é a aresta frontal superior, de (0,0,1) a (1,0,1).

Passo 5

Concluímos que, dentro da célula unitária, o plano (0\;\overline{1}\;1) não “corta” a região interna, mas passa paralelo ao eixo x tangenciando a aresta que liga (0,0,1) a (1,0,1). Isso significa que sua porção visível é exatamente essa linha na face z=1, y=0.

Resposta

O plano (0\;\overline{1}\;1) intercepta a célula unitária ao longo da aresta que vai de (0,0,1) a (1,0,1), sendo paralelo ao eixo x.

Exercícios relacionados