Considere
o número dos enésimos vizinhos mais próximos de determinado ponto da rede de Bravais (por exemplo, em uma rede de Bravais cúbica simples
etc. Considere
a distância ao enésimo vizinho mais próximo expresso como um múltiplo da distância do vizinho mais próximo (por exemplo, em uma rede cúbica simples,
.) Faça uma tabela de
e
para
para as redes de Bravais fcc, bcc e sc.
Passo 1
O problema pede para cada uma das três redes de Bravais (sc, bcc e fcc) e para
determinar:
– , o número de vizinhos na
-ésima casca;
– , a distância normalizada àquela casca, medida em unidades da distância ao 1.º vizinho
.
Vamos usar a geometria dos vetores de rede e contar quantos pontos satisfazem cada valor de (ou os deslocamentos fracionários no caso bcc/fcc), ordenando pelas distâncias crescentes.
–
–
Vamos usar a geometria dos vetores de rede e contar quantos pontos satisfazem cada valor de
Passo 2
Rede cúbica simples (sc) – pontos em
,
. Tomamos a constante de rede
como unidade, de modo que o 1.º vizinho está em
etc., ou seja
. As distâncias ao quadrado são
e o número de soluções
em cada shell dá
. Assim:
Passo 3
Rede cúbica de corpo centrado (bcc) – pontos em cantos
e centros de corpo
. Definimos a constante de rede
tal que a distância ao 1.º vizinho
seja
, o que dá
. Calculamos então as cascas seguintes, ordenando por
e contando quantos vetores distintos dão cada valor. O resultado é
Passo 4
Rede cúbica de faces centradas (fcc) – pontos em cantos
e centros de face
(e permutações). Definimos
de modo que o 1.º vizinho
tenha
, o que implica
. As cascas seguintes vêm de vetores
,
, \dots, levando a
Resposta
Rede sc:
, 12, 8, 6, 24, 24
,
,
, 2,
,
Rede bcc:
, 6, 12, 24, 8, 6
,
,
,
, 2,
Rede fcc:
, 6, 24, 24, 8, 6
,
,
,
,
, 2