Considere N_{n} o número dos enésimos vizinhos mais próximos de determinado ponto da rede de Bravais (por exemplo, em uma rede de Bravais cúbica simples N_{1}=6, N_{2}=12 etc. Considere r_{n} a distância ao enésimo vizinho mais próximo expresso como um múltiplo da distância do vizinho mais próximo (por exemplo, em uma rede cúbica simples, r_{1}=1, r_{2}=\sqrt{2}.) Faça uma tabela de N_{n} e r_{n} para \mathrm{n}=1, \ldots, 6 para as redes de Bravais fcc, bcc e sc.

Passo 1

O problema pede para cada uma das três redes de Bravais (sc, bcc e fcc) e para n=1,\dots,6 determinar:
N_{n}, o número de vizinhos na n-ésima casca;
r_{n}, a distância normalizada àquela casca, medida em unidades da distância ao 1.º vizinho r_{1}=1.
Vamos usar a geometria dos vetores de rede e contar quantos pontos satisfazem cada valor de i^{2}+j^{2}+k^{2} (ou os deslocamentos fracionários no caso bcc/fcc), ordenando pelas distâncias crescentes.

Passo 2

Rede cúbica simples (sc) – pontos em (i,j,k), i,j,k\in\mathbb{Z}. Tomamos a constante de rede a como unidade, de modo que o 1.º vizinho está em (\pm1,0,0) etc., ou seja r_{1}=1. As distâncias ao quadrado são
i^{2}+j^{2}+k^{2}=1,2,3,4,5,6,\dots
e o número de soluções (i,j,k)\neq(0,0,0) em cada shell dá N_{n}. Assim:
\begin{aligned} i^{2}+j^{2}+k^{2}=1&\Rightarrow N_{1}=6,\quad r_{1}=1,\\\ i^{2}+j^{2}+k^{2}=2&\Rightarrow N_{2}=12,\quad r_{2}=\sqrt{2},\\\ i^{2}+j^{2}+k^{2}=3&\Rightarrow N_{3}=8,\quad r_{3}=\sqrt{3},\\\ i^{2}+j^{2}+k^{2}=4&\Rightarrow N_{4}=6,\quad r_{4}=2,\\\ i^{2}+j^{2}+k^{2}=5&\Rightarrow N_{5}=24,\quad r_{5}=\sqrt{5},\\\ i^{2}+j^{2}+k^{2}=6&\Rightarrow N_{6}=24,\quad r_{6}=\sqrt{6}. \end{aligned}

Passo 3

Rede cúbica de corpo centrado (bcc) – pontos em cantos (i,j,k)a e centros de corpo (i+\tfrac12,j+\tfrac12,k+\tfrac12)a. Definimos a constante de rede a tal que a distância ao 1.º vizinho 0,0,0)\to(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12)a seja 1, o que dá a^{2}=4/3. Calculamos então as cascas seguintes, ordenando por
\|\Delta\mathbf{r}\|^{2}/\|\Delta\mathbf{r}_{1}\|^{2}
e contando quantos vetores distintos dão cada valor. O resultado é
\begin{aligned} &N_{1}=8,\quad r_{1}=1,\\\ &N_{2}=6,\quad r_{2}=\sqrt{\tfrac{4}{3}},\\\ &N_{3}=12,\quad r_{3}=\sqrt{\tfrac{8}{3}},\\\ &N_{4}=24,\quad r_{4}=\sqrt{\tfrac{11}{3}},\\\ &N_{5}=8,\quad r_{5}=2,\\\ &N_{6}=6,\quad r_{6}=\sqrt{\tfrac{16}{3}}. \end{aligned}

Passo 4

Rede cúbica de faces centradas (fcc) – pontos em cantos (i,j,k)a e centros de face (i+\tfrac12,j+\tfrac12,k)a (e permutações). Definimos a de modo que o 1.º vizinho 0,0,0)\to(\tfrac12,\tfrac12,0)a tenha r_{1}=1, o que implica a^{2}=2. As cascas seguintes vêm de vetores (\pm1,0,0)a, (\pm1,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12)a, \dots, levando a
\begin{aligned} &N_{1}=12,\quad r_{1}=1,\\\ &N_{2}=6,\quad r_{2}=\sqrt{2},\\\ &N_{3}=24,\quad r_{3}=\sqrt{3},\\\ &N_{4}=24,\quad r_{4}=\sqrt{5},\\\ &N_{5}=8,\quad r_{5}=\sqrt{6},\\\ &N_{6}=6,\quad r_{6}=2\sqrt{2}. \end{aligned}

Resposta

Rede sc: N_{n} =6, 12, 8, 6, 24, 24 r_{n} =1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \sqrt{5}, \sqrt{6}
Rede bcc: N_{n} =8, 6, 12, 24, 8, 6 r_{n} =1, \sqrt{\tfrac{4}{3}}, \sqrt{\tfrac{8}{3}}, \sqrt{\tfrac{11}{3}}, 2, \sqrt{\tfrac{16}{3}}
Rede fcc: N_{n} =12, 6, 24, 24, 8, 6 r_{n} =1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, 2 \sqrt{2}

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