O espaçamento interplanar dhkl para planos em uma célula unitária com geometria ortorrômbica é dado por \frac{1}{d_{h k l}^{2}}=\frac{h^{2}}{a^{2}}+\frac{k^{2}}{b^{2}}+\frac{l^{2}}{c^{2}} onde a , b e c são os parâmetros da rede.
a. A qual equação esta expressão se reduz para cristais com simetria cúbica?
b. Para cristais com simetria tetragonal?

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão do espaçamento interplanar em rede ortorrômbica:
\frac{1}{d_{hkl}^{2}} \;=\;\frac{h^{2}}{a^{2}} \;+\;\frac{k^{2}}{b^{2}} \;+\;\frac{l^{2}}{c^{2}}
Precisamos ver como essa fórmula simplifica quando a rede passa a ter simetria cúbica (onde a=b=c) e tetragonal (onde a=b\neq c).

Passo 2

Para cristais de simetria cúbica vale a=b=c. Substituindo b=a e c=a na expressão ortorrômbica, temos:
\frac{1}{d_{hkl}^{2}} =\frac{h^{2}}{a^{2}}+\frac{k^{2}}{a^{2}}+\frac{l^{2}}{a^{2}} =\frac{h^{2}+k^{2}+l^{2}}{a^{2}}.

Passo 3

Para cristais de simetria tetragonal vale a=b\neq c. Substituindo b=a na expressão original, fica:
\frac{1}{d_{hkl}^{2}} =\frac{h^{2}}{a^{2}}+\frac{k^{2}}{a^{2}}+\frac{l^{2}}{c^{2}} =\frac{h^{2}+k^{2}}{a^{2}}+\frac{l^{2}}{c^{2}}.

Resposta

(a) Para simetria cúbica:
\frac{1}{d_{hkl}^{2}}=\frac{h^{2}+k^{2}+l^{2}}{a^{2}}.
(b) Para simetria tetragonal:
\frac{1}{d_{hkl}^{2}}=\frac{h^{2}+k^{2}}{a^{2}}+\frac{l^{2}}{c^{2}}.

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